La multiplication et la division avec la méthode de Singapour de La Librairie des Écoles

Discipline
Nombres et calculs
Niveaux
CP.
Auteur
G. COURRIER
Objectif
Réaliser que certains problèmes relèvent de situations multiplicatives

Réaliser que certains problèmes relèvent de situations de partage. Diviser une quantité en groupes égaux, le nombre de groupes étant donné.

Diviser une quantité en groupes égaux, le nombre d’objets dans chaque groupe étant donné.
Relation avec les programmes

Cycle 2 - Programme 2020

  • Résoudre des problèmes issus de situations de la vie quotidienne ou adaptés de jeux portant sur des grandeurs et leur mesure, des déplacements sur une demi-droite graduée, etc., conduisant à utiliser les quatre opérations : - sens des opérations ; - problèmes relevant des structures additives (addition/soustraction) ; - problèmes relevant des structures multiplicatives, de partages ou de groupements (multiplication/division).
Dates
Créée le 29 mars 2019
Modifiée le 31 mars 2019
Statistiques
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1 coups de coeur
Licence
CC-BY-NC-SALicence Creative Commons : Paternité - Pas d'utilisation commerciale - Partage des conditions initiales à l'identique ?.

Multiplier
La multiplication exprime l’addition de groupes égaux, c’est-à-dire de groupes comportant le même nombre d’éléments. La multiplication est un moyen d’exprimer l’addition réitérée : on multiplie le nombre d’éléments d’un groupe par le nombre de fois où ce groupe se répète.
L’objectif de cette unité est de reconnaître, lire, écrire et interpréter les phrases mathématiques qui contiennent le symbole « multiplié » (x).
Une des principales difficultés est la reconnaissance du multiplicateur (le nombre de fois où l’on multiplie) et du multiplicande (le nombre d’éléments multipliés). En effet, 4 x 3 (4 fois 3) est la répétition à 4 reprises de 3 éléments : 3 + 3 + 3 + 3. Ici, la valeur du groupe est 3, le nombre de fois où ce groupe est répété est 4. Le nombre « 3 » est écrit 4 fois, il est multiplié par 4.
La multiplication étant commutative, on peut écrire 4 x 3 = 3 x 4. Cette égalité se lit de deux façons : 4 fois 3 (3 + 3 + 3 + 3) égale 3 fois 4 (4 + 4 + 4) et 4 multiplié par 3 égale 3 multiplié par 4. Il est important de faire remarquer aux élèves que le résultat de ces deux écritures est identique : 4 x 3 = 3 x 4 = 12.
Il existe deux types de problèmes liés à la multiplication :
• les problèmes faisant appel à l’addition réitérée, où le multiplicateur et le et le multiplicande ont des rôles asymétriques
• les problèmes mettant en jeu un produit de mesures, où la représentation rectangulaire rend lisible la commutativité de la multiplication.

Partager et regrouper
Dès l’école maternelle, les élèves se familiarisent avec la notion de partage, qui consiste à diviser quelque chose en parts, en vue de les distribuer. La division-partition, où l’on cherche la valeur d’un paquet connaissant le nombre de paquets identiques, est facilement comprise par les enfants. Elle est basée sur le sens de ce qui est juste. Cette expérience du partage est souvent illustrée par des problèmes sur la nourriture et les objets familiers (billes, cubes...).
Les problèmes de groupement (division-quotition), qui consistent à chercher le nombre de groupes, connaissant la valeur d’un paquet, sont moins faciles à appréhender. C’est par la fréquentation de petits problèmes simples, basés sur des quantités discrètes (objets qu’on peut compter), que les élèves vont passer de la manipulation à la modélisation (dessin, schéma), puis à l’écriture mathématique (chiffres et symboles).

Déroulement des séances

1

Observons l'image.

Dernière mise à jour le 31 mars 2019
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Introduction à l’unité 15, exploration de l’illustration page 79 du fichier B, découverte de la multiplication, de la division-partition et de la division-quotition.

•Si je connais le nombre d’objets dans un groupe et le nombre de groupes, je peux calculer le nombre total d’objets.
• Si je connais le nombre total d’objets, je peux faire un partage équitable de tous les objets. Dans ce cas, je cherche le nombre d’objets dans chaque groupe. Je peux aussi faire des groupes égaux. Dans ce cas, je cherche le nombre de groupes que je peux obtenir avec tous les objets.
Durée
30 minutes (3 phases)
Matériel
Fichier B : p79
Informations théoriques
Activité optionnelle

Le paquet de bonbons
« Tu as 4 assiettes. Mets 5 bonbons dans chaque assiette. Combien de bonbons as-tu en tout ? »
« Tu as 5 assiettes. Mets 4 bonbons dans chaque assiette. Combien de bonbons as-tu en tout ? »
« Tu as 15 bonbons. Si tu les répartis équitablement dans 3 assiettes, combien de bonbons auras-tu dans chaque assiette ? »
« Tu as 15 bonbons. Si tu mets 3 bonbons dans chaque assiette, combien d’assiettes peux-tu remplir ? »

1. Exploration de l’illustration en pleine page

groupes de 5 | 10 min. | découverte

Projeter l’illustration page 79 du fichier B au tableau ou demander aux élèves d’observer leur fichier. Commencer par situer le lieu et l’activité réalisée par les enfants : « Où sont Maël, Idris, Adèle et Alice ? », « Que font-ils ? »

Être attentif aux réponses des élèves, notamment à l’évocation des différentes catégories d’aliments (tartes, chaussons, pommes vertes et rouges), leur répartition dans les contenants ainsi que le nombre de contenants. Laisser les élèves s’exprimer sur tous les indices présents dans l’image et expliquez-leur qu’ils vont découvrir dans cette unité différentes façons de grouper et de partager les éléments d’une collection.

2. Observation détaillée de l’image

collectif | 10 min. | recherche

Introduire le terme « grouper » en focalisant l’attention des élèves sur la partie gauche de l’image avec Idris et Adèle. « Comment les enfants ont-ils groupé les parts de tarte et les chaussons aux pommes ? » Faire compter et constater qu’il y a le même nombre de parts de tarte / le même nombre de chaussons dans chaque assiette. « Comment faire pour savoir combien de parts de tarte / de chaussons il y a en tout ? »

Laisser les élèves chercher et discuter des procédures : le dénombrement, le groupement par 2 ou par 4 et l’addition. On observe que les tartes sont groupées par deux et qu’elles sont réparties dans quatre assiettes, les chaussons, eux, sont groupés par quatre et sont répartis dans trois assiettes.

Introduire le terme « partager » en focalisant l’attention des élèves sur la partie droite de l’image avec Maël et Alice. « Qu’y avait-il dans chaque cagette ? » Inciter les élèves à expliquer ce qu’ont fait Maël et Alice et à comparer le résultat : ce qui est pareil, ce qui est différent. Lire le phylactère d’Alice et explicitez le terme « équitablement » : « On a mis la même quantité de pommes dans chaque saladier. »

3. Présentation du groupement et du partage

collectif | 10 min. | recherche

Dans cette unité, la multiplication et la division sont traitées simultanément. Il s’agit d’expliquer le sens des opérations.

Le groupement des tartes et des chaussons permet d’illustrer les termes de la multiplication. Le nombre de chaussons dans une assiette correspond au nombre d’élé- ments dans un groupe. Ce nombre est visible dans l’addition réitérée. Le nombre d’assiettes correspond au nombre de groupes : il n’est pas visible dans l’addition réitérée. Il se déduit en comptant le nombre d’itérations.

Pour la division, d’une part Alice répartit les 15 pommes en trois groupes égaux (connu) et cherche le nombre de pommes dans chaque groupe (inconnu) : c’est le partage équitable ou la division- partition. D’autre part, Maël fait des groupes de trois (connu) avec 15 pommes et cherche le nombre de groupes possibles (inconnu) : c’est le regroupement ou la division-quotition.

Mimer la situation en utilisant des jetons. Dans chaque cas, inciter les élèves à dire ce qu’ils savent et ce qu’ils cherchent.

2

Additionnons des groupes égaux

Dernière mise à jour le 31 mars 2019
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Réaliser que certains problèmes relèvent de situations multiplicatives. Découvrir les notions de groupes égaux. Utiliser l’addition réitérée.

• Je sais trouver le nombre d’objets dans un groupe. Je sais trouver le nombre de groupes égaux. Pour trouver le nombre total d’objets, j’ajoute le nombre d’objets de chaque groupe.
• J’écris le signe = entre deux écritures indiquant le même nombre d’objets.
Durée
40 minutes (3 phases)
Matériel
Fichier B : pp. 80-81
Fiches photocop. : Act. 1 pp. 241-244
Matériel pédagogique :
un sac opaque contenant 20 jetons par groupes de 4 élèves, une assiette en carton par élève, cubes multidirectionnels
Informations théoriques
Différenciation
Soutien : Présenter aux élèves une assiette avec 2 jetons. Demander de compléter 3 autres assiettes avec le même nombre de jetons, puis d’indiquer le nombre de groupes de 2 jetons et le nombre total de jetons.
Approfondissement : Demander aux élèves d’inventer une histoire avec 5 groupes égaux de 4 objets.

Activité bonus
Les rondes
Lors des séances d’EPS, faites danser les élèves par groupes de 2. S’il y a un nombre impair d’élèves, un élève est chargé de compter le nombre de groupes égaux.
Demandez ensuite aux élèves de se regrouper par 3 et de compter le nombre de groupes égaux.
Demandez enfin aux élèves de danser
par 4 et de compter le nombre de groupes égaux.
Prenez des photos des différentes situations pour vérifier et exploiter la situation en classe.
Remarques
Évaluation continue
Vérifier que les élèves font bien le lien entre la répétition de quantités dans la phase de manipulation de cubes (deux cubes, puis deux cubes, puis à nouveau deux cubes donnent six cubes) et l’écriture abstraite (2 + 2 + 2 = 6). Vérifier aussi que le multiplicateur (3 groupes de 2) est bien associé, dans l’addition itérée, au nombre d’additions.

1. Les assiettes et les jetons

groupes de 5 | 15 min. | découverte

Faire travailler les élèves par groupes de quatre. Donner à chaque groupe un sac opaque contenant 20 jetons, et à chaque élève une assiette en carton. Chaque élève doit mettre 3 jetons dans son assiette et passer le sac au suivant. Les élèves dessinent ensuite sur leur ardoise toutes les assiettes et tous les jetons qui y ont été posés. Lors de la mise en commun, comparer les dessins. Inciter les élèves à formuler ce qu’ils voient : « Il y a 4 assiettes et dans chaque assiette, il y a 3 jetons. »

Demander aux élèves d’écrire sur leur ardoise combien de jetons il y a en tout. Observer les procédures des élèves : dessin, dénombrement, groupement par 3, addition réitérée. Expliquer qu’on écrit 3 + 3 + 3 + 3 = 12 et que 3 correspond au nombre de jetons dans chaque assiette. Les assiettes symbolisent les groupes de 3 jetons.

Recommencer le jeu avec 5 jetons dans chaque assiette. Demander aux élèves de dessiner ce qu’ils voient et d’écrire combien de jetons il y a en tout. Prendre en compte toutes les écritures possibles, même si les élèves n’utilisent pas l’addition réitérée.

2. Étude de la page 80 du fichier B

collectif | 10 min. | recherche

Projeter la partie supérieure de la page 80 du fichier B. Demander aux élèves de décrire la situation présentée par Adèle. Incitez-les à expliquer à quoi correspond l’opération réitérée. Demander aux élèves de montrer avec leur doigt le nombre de groupes de 2 chaussons. Insister sur le fait qu’il y a le même nombre de chaussons dans chaque assiette et que les assiettes représentent des groupes égaux. Demander ensuite de représenter les 3 groupes de 2 chaussons en réalisant 3 trains de 2 cubes. Calculer enfin avec les élèves le nombre total de chaussons.

Procéder de la même manière avec la situation présentée par Idris. Faire observer que chaque groupe contient le même nombre de parts de tarte : les groupes sont égaux. L’addition réitérée correspond aux 5 groupes de 2 parts de tarte.

3. Entraînement

individuel | 15 min. | entraînement

Dans les exercices de la page 81 du fichier B, les élèves comptent et valident le nombre d’objets dans chaque groupe, puis comptent et valident le nombre de groupes.

Proposer de mimer la situation 1 de l’exercice 1 page 241 des fiches photocopiables.

Faites remarquer que lorsque le nombre d’enfants et de groupes augmente, le dénombrement n’est pas adapté car il est source d’erreurs. L’objectif est de faire sentir aux élèves la nécessité d’utiliser le groupement et l’écriture additive.

Dans les exercices page 242, faire observer que les groupes – représentés par les colonnes – sont égaux, ils comportent le même nombre de points. Les exercices pages 243 et 244 montrent que le signe = ne traduit pas seulement le résultat d’une opération mais également les différentes écritures possibles d’une quantité : sous la forme d’un dessin, du nombre de groupes égaux ainsi que de l’addition réitérée.

3

Inventons des histoires de multiplications

Dernière mise à jour le 31 mars 2019
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Réaliser que certains problèmes relèvent de situations multiplicatives.
Découvrir le symbole de la multiplication. Lire et écrire la phrase mathématique de la multiplication.

• La multiplication remplace l’addition répétée de groupes égaux. Elle permet de dire combien de fois je vois un groupe d’objets.
• La multiplication permet de calculer plus rapidement.
Durée
40 minutes (3 phases)
Matériel
Fichier B : pp. 82-83
Fiches photocop. : Act. 2 pp. 245-246
Matériel pédagogique :
12 balles, cubes multidirectionnels, ficelle
Informations théoriques
Différenciation
Soutien :
Proposer aux élèves qui ont du mal à comprendre la notion de « groupes égaux » de représenter chaque situation mathématique du fichier (les ballons, les œufs, les tomates...) de la manière suivante : les éléments sont représentés sous forme de cubes, et les groupes sont matérialisés par un bout de ficelle qui entoure chaque ensemble de cubes.
Approfondissement :
Proposer aux élèves avancés d’inventer de nouvelles histoires de multiplications, en écrivant à chaque fois parallèlement : a groupes de b = c et a x b = c.

Activité bonus
Les histoires de multiplications
Créez avec les élèves un jeu de cartes représentant des groupes d’objets égaux. Par binôme, un élève tire une carte, dit
ce qu’il voit, le second écrit sur son ardoise la phrase mathématique qui convient.
Les deux élèves valident ensuite l’écriture mathématique.
Remarques
Évaluation continue
À partir d’un des exercices de l’activité 2 des fiches photocopiables, demander aux élèves de verbaliser ce qu’ils connaissent et ce qu’ils cherchent. Partir d’une phrase mathématique et faites-leur expliquer chaque terme.

1. Découvrir la multiplication - coll puis binômes

collectif | 15 min. | découverte

Présenter le problème suivant aux élèves : « Par groupes de 8 élèves, vous devez réaliser un joli dessin. Pour cela, vous avezbesoin de 4 crayons de couleur par élève. Combien de crayons de couleur faut- il pour les 8 élèves ? » Laisser les élèves chercher la réponse sur leur ardoise et comparer par binôme leurs procédures. Lors de la mise en commun, noter au tableau toutes les procédures, même celles qui sont erronées. L’objectif est de discuter l’efficacité et la fiabilité des différentes stratégies : dénombrement, dessin (ou schéma) des 32 crayons, dessin des 8 groupes de 4 crayons, écriture chiffrée de l’addition réitérée.

Expliquer que, par souci d’efficacité, vous allez remplacer le dénombrement et l’écriture sous forme d’additions répétées par une nouvelle opération qui s’appelle la multiplication. Dans une addition réitérée, il peut y avoir trop de nombres, le calcul est long. Avec la multiplication, il n’y a que deux nombres, le calcul est bien plus rapide.

2. Phase 2

collectif | 10 min. | recherche

Mimer avec des balles et faire verbaliser collectivement la situation présentée en page 82 du fichier B.

Demander aux élèves d’indiquer le nombre de groupes et le nombre d’objets dans chaque groupe.

Montrer les 4 groupes égaux et dénombrez à voix haute les 3 ballons dans chaque groupe. Demander aux élèves d’écrire dans leur fichier le nombre de ballons sous chaque groupe. Expliquer qu’on voit et qu’on écrit 4 fois le nombre 3.

Indiquer que, quand on écrit 4 x 3, le 4 correspond au nombre de groupes, le 3 au nombre d’objets dans chaque groupe. Le passage de l’activité concrète à l’opération mathématique symbolisée par le signe « x » se fait grâce à la formulation à l’oral et à l’écrit de la phrase mathématique : 4 x 3 = 12. Expliquer aux élèves que le signe « x » (multiplié) signifie qu’on répète plusieurs fois le nombre d’objets présents dans un groupe. Insister sur le fait qu’il y a équivalence entre deux écritures, 4 x 3 et 3 + 3 + 3 + 3.

3. Entraînement - individuellement ou en binômes

individuel | 15 min. | entraînement

Projeter l’exercice 1 page 83 du fichier B. Demander aux élèves de décrire ce qu’ils voient. Inciter à expliquer à quoi correspondent les nombres dans les phrases mathématiques (5 x 6 = 30 et 3 x 5 = 15). L’exercice 2) a) est difficile : les élèves peuvent travailler en binômes hétérogènes.

La première phrase mathématique permet de trouver le nombre total d’aquariums, la seconde de trouver le nombre total de poissons.

L’exercice 2) b) est plus difficile encore : il faut distinguer deux groupes (les perles rouges et les perles mauves) sur un même objet, le collier. Proposer aux élèves qui en ressentent le besoin de mimer l’activité avec des perles et de décomposer le collier en disposant les perles sur des assiettes pour compter le nombre de groupes.

Pour l’activité 2 des pages 245 et 246 des fiches photocopiables, expliquer les termes             « chaque » (correspond à un groupe) et « en tout » (correspond au nombre total d’objets).

4

Inventons des histoires de multiplications

Dernière mise à jour le 31 mars 2019
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Réaliser que certains problèmes relèvent de situations multiplicatives.
Découvrir le symbole de la multiplication. Lire et écrire la phrase mathématique de la multiplication.

• La multiplication remplace l’addition répétée de groupes égaux. Elle permet de dire combien de fois je vois un groupe d’objets.
• La multiplication permet de calculer plus rapidement.
Durée
40 minutes (3 phases)
Matériel
Fichier B : pp. 82-83
Fiches photocop. : Act. 2 pp. 245-246
Matériel pédagogique :
12 balles, cubes multidirectionnels, ficelle
Informations théoriques
Différenciation
Soutien :
Proposer aux élèves qui ont du mal à comprendre la notion de « groupes égaux » de représenter chaque situation mathématique du fichier (les ballons, les œufs, les tomates...) de la manière suivante : les éléments sont représentés sous forme de cubes, et les groupes sont matérialisés par un bout de ficelle qui entoure chaque ensemble de cubes.
Approfondissement :
Proposer aux élèves avancés d’inventer de nouvelles histoires de multiplications, en écrivant à chaque fois parallèlement : a groupes de b = c et a x b = c.

Activité bonus
Les histoires de multiplications
Créez avec les élèves un jeu de cartes représentant des groupes d’objets égaux. Par binôme, un élève tire une carte, dit
ce qu’il voit, le second écrit sur son ardoise la phrase mathématique qui convient.
Les deux élèves valident ensuite l’écriture mathématique.
Remarques
Évaluation continue
À partir d’un des exercices de l’activité 2 des fiches photocopiables, demander aux élèves de verbaliser ce qu’ils connaissent et ce qu’ils cherchent. Partir d’une phrase mathématique et faites-leur expliquer chaque terme.

1. Découvrir la multiplication - coll puis binômes

collectif | 15 min. | découverte

Présenter le problème suivant aux élèves : « Par groupes de 8 élèves, vous devez réaliser un joli dessin. Pour cela, vous avezbesoin de 4 crayons de couleur par élève. Combien de crayons de couleur faut- il pour les 8 élèves ? » Laisser les élèves chercher la réponse sur leur ardoise et comparer par binôme leurs procédures. Lors de la mise en commun, noter au tableau toutes les procédures, même celles qui sont erronées. L’objectif est de discuter l’efficacité et la fiabilité des différentes stratégies : dénombrement, dessin (ou schéma) des 32 crayons, dessin des 8 groupes de 4 crayons, écriture chiffrée de l’addition réitérée.

Expliquer que, par souci d’efficacité, vous allez remplacer le dénombrement et l’écriture sous forme d’additions répétées par une nouvelle opération qui s’appelle la multiplication. Dans une addition réitérée, il peut y avoir trop de nombres, le calcul est long. Avec la multiplication, il n’y a que deux nombres, le calcul est bien plus rapide.

2. Phase 2

collectif | 10 min. | recherche

Mimer avec des balles et faire verbaliser collectivement la situation présentée en page 82 du fichier B.

Demander aux élèves d’indiquer le nombre de groupes et le nombre d’objets dans chaque groupe.

Montrer les 4 groupes égaux et dénombrez à voix haute les 3 ballons dans chaque groupe. Demander aux élèves d’écrire dans leur fichier le nombre de ballons sous chaque groupe. Expliquer qu’on voit et qu’on écrit 4 fois le nombre 3.

Indiquer que, quand on écrit 4 x 3, le 4 correspond au nombre de groupes, le 3 au nombre d’objets dans chaque groupe. Le passage de l’activité concrète à l’opération mathématique symbolisée par le signe « x » se fait grâce à la formulation à l’oral et à l’écrit de la phrase mathématique : 4 x 3 = 12. Expliquer aux élèves que le signe « x » (multiplié) signifie qu’on répète plusieurs fois le nombre d’objets présents dans un groupe. Insister sur le fait qu’il y a équivalence entre deux écritures, 4 x 3 et 3 + 3 + 3 + 3.

3. Entraînement - individuellement ou en binômes

individuel | 15 min. | entraînement

Projeter l’exercice 1 page 83 du fichier B. Demander aux élèves de décrire ce qu’ils voient. Inciter à expliquer à quoi correspondent les nombres dans les phrases mathématiques (5 x 6 = 30 et 3 x 5 = 15). L’exercice 2) a) est difficile : les élèves peuvent travailler en binômes hétérogènes.

La première phrase mathématique permet de trouver le nombre total d’aquariums, la seconde de trouver le nombre total de poissons.

L’exercice 2) b) est plus difficile encore : il faut distinguer deux groupes (les perles rouges et les perles mauves) sur un même objet, le collier. Proposer aux élèves qui en ressentent le besoin de mimer l’activité avec des perles et de décomposer le collier en disposant les perles sur des assiettes pour compter le nombre de groupes.

Pour l’activité 2 des pages 245 et 246 des fiches photocopiables, expliquer les termes             « chaque » (correspond à un groupe) et « en tout » (correspond au nombre total d’objets).

5

Multiplions

Dernière mise à jour le 31 mars 2019
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Réaliser que certains problèmes relèvent de situations multiplicatives.
Comparer des problèmes relevant de structures multiplicatives. S’entraîner à multiplier avec l’addition réitérée.
Utiliser des matrices rectangulaires pour représenter des multiplications.

• La multiplication permet de calculer le nombre total d’objets d’une collection disposée en groupes égaux.
• Quand je multiplie, je dois compter le nombre d’objets par groupe et le nombre (total) de groupes.
• En multipliant deux nombres, je trouve combien d’objets il y a en tout.
Durée
45 minutes (3 phases)
Matériel
Fichier B : pp. 84-85
Fiches photocop. : Act. 3 pp. 247-250
Matériel pédagogique :
2 jeux de 20 cartes, 2 affiches A3, 12 jetons par élève, 10 assiettes en carton
Informations théoriques
Différenciation
Soutien :
Préparer dix assiettes en carton et des jetons pour chaque élève. Demander à chacun de disposer quatre assiettes devant lui, puis de poser trois jetons dans chaque assiette. Poser les questions suivantes, dans l’ordre : 1) « Avez-vous le même nombre de jetons dans chaque assiette ? » 2) « Si chaque assiette est un "groupe", combien avez-vous de groupes ? » 3) « Combien de jetons y a-t-il dans chaque groupe ? » 4) « Combien de jetons y a-t-il en tout ? Pouvez-vous écrire une addition pour décrire cette situation ? Et une multiplication ? »
Approfondissement :
Demander aux élèves d’écrire des paires d’opérations (addition et multiplication), décrivant toutes les deux la même situation (exemple : 2 + 2 + 2 = 6 ; 3 x 2 = 6). Encourager à écrire le plus grand nombre de paires d’opérations

Activité bonus
• Donner aux élèves le problème suivant à résoudre : « Une grosse bille bleue peut s’échanger contre trois petites billes jaunes. Tom a six grosses billes bleues. Contre combien de billes jaunes peut-il les échanger ? »
• Proposer aux élèves de jouer à un jeu de mémory en faisant correspondre
des cartes comportant une écriture multiplicative (exemple : 2 x 5) à des cartes comportant une addition réitérée (exemple : 5 + 5).
Remarques
Évaluation continue
Observer les élèves qui dénombrent chaque élément l’un après l’autre dès qu’ils le peuvent, et ceux qui comptent de 2 en 2, puis de 4 en 4, etc. Pour les premiers, il faudra sans doute encore revenir sur le calcul mental et l’automatisation des familles de nombres.

1. Les jeux de cartes

collectif | 20 min. | découverte

Demander à cinq élèves de tirer à tour de rôle quatre cartes. Disposer les cinq paquets de quatre cartes sur une affiche bleue. Quatre élèves tirent ensuite à tour de rôle cinq cartes. Disposer les quatre paquets de cinq cartes sur une affiche rouge. Solliciter les élèves pour savoir quelles sont les questions qu’ils se posent en regardant les paquets sur les deux affiches. Noter au tableau ces questions. Exemples de questions : « Est-ce qu’il y a le même nombre de cartes sur les deux affiches ? », « Combien y a-t-il de cartes en tout sur chaque affiche ? » Inciter les élèves à écrire sur leur ardoise la phrase mathématique qui correspond à l’affiche bleue et celle correspondant à l’affiche rouge. Les élèves comparent ce qu’ils ont écrit. Discuter ensuite en classe entière de toutes les façons de trouver le nombre total de cartes sur chaque affiche : dénombrement, écriture du nombre de paquets et du nombre de cartes par paquet, addition réitérée, calcul mental. Comparer les résultats : il y a la même quantité de cartes sur les deux affiches. C’est le nombre de cartes par groupe et le nombre de groupes qui changent.

2. Étude de la page 84 du fichier B

individuel | 10 min. | recherche

Projeter la page 84 du fichier B. Comparer le problème d’Alice et d’Idris à la situation du jeu de cartes. Reprendre les écritures mathématiques proposées et demander aux élèves de vérifier que les enfants ont bien le même nombre de cuillères chacun. Dans les exercices pages 84 et 85, les élèves s’appuient sur le dessin pour formuler à l’oral et à l’écrit le nombre de groupes et le nombre d’objets dans chaque groupe. Ils complètent ensuite la phrase mathématique en indiquant le résultat de la multiplication, la valeur d’un groupe ou les trois termes de la multiplicationL’exercice 2 page 85 introduit la représentation de la multiplication à l’aide d’une matrice rectangulaire. Celle-ci permet aux élèves de visualiser les additions répétées « cachées » dans la multiplication et de commencer à comprendre la commutativité de la multiplication.

Distribuer aux élèves des jetons pour qu’ils puissent reproduire les tableaux. Ils doivent être capables de dénombrer de petites quantités et de repérer que le nombre de lignes correspond au nombre de groupes.

3. Entraînement

collectif | 15 min. | entraînement

Distribuer l’activité 3 pages 247 à 250 des fiches photocopiablesaux élèves. Proposer de travailler en binômes homogènes et adaptez le nombre d’exercices à leur rythme.

Des aides doivent être disponibles : table d’addition, bande numérique, etc.

L’exercice page 248 demande aux élèves de compter le nombre d’oreilles ou de pattes. Compter les deux oreilles du premier lapin afin d’aider les élèves à comprendre l’énoncé.

 Pages 249 et 250, expliquer que le nombre de groupes multiplié par le nombre de points sur une ligne correspond au nombre total de points dans le rectangle

6

Partageons

Dernière mise à jour le 31 mars 2019
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Réaliser que certains problèmes relèvent de situations de partage. Diviser une quantité en groupes égaux, le nombre de groupes étant donné.
Partager équitablement. Chercher, tester plusieurs pistes proposées par soi-même, les autres élèves ou l’enseignant

• La division peut avoir le sens de partage équitable. Dans ce cas, le nombre total d’objets et le nombre de groupes sont connus : je cherche la part égale par groupe.
• Pour trouver cette part égale, je mets le même nombre d’objets dans chaque groupe. Parfois, ce n’est pas possible.
Durée
50 minutes (3 phases)
Matériel
Fichier B : pp. 86-87
Fiches photocop. : Act. 4 pp. 251-254
Matériel pédagogique :
un sac de 12 jetons par groupes de 3 élèves, une assiette en carton par élève, puis 18 jetons par élève
Informations théoriques
Différenciation
Soutien :
S'assurer que les élèves en difficulté ont compris la situation de partage. Passer par le mime et la verbalisation de chaque étape : ce qu’on sait, ce qu’on cherche.
Approfondissement : Demander aux élèves avancés combien de partages équitables ils peuvent faire avec 12 objets. Proposer de dessiner chaque partage.

Activité bonus
Inventer des histoires de divisions
Constituer avec les élèves un jeu de cartes illustrées représentant des collections d’objets d’une part et des groupes constitués de 2 à 9 personnages d’autre part.
Les élèves travaillent en binôme : l’un tire deux cartes, l’autre doit inventer une histoire de partage.
Exemple : 10 livres - 2 enfants.
« La maîtresse souhaite partager 10 livres entre 2 élèves. Combien de livres aura chaque élève ? »
Remarques
Évaluation continue
Observer les procédures des élèves pendant qu’ils réalisent les exercices 4 à 7 des fiches photocopiables (étape de recherche imagée). Aider les plus fragiles à verbaliser leur procédure et à organiser la trace écrite de leur partage.

1. Partager équitablement 12 pommes

collectif | 20 min. | recherche

L’approche de la division, amorcée en maternelle, passe par une mise en situation concrète qui permet aux élèves de comprendre le sens de cette opération. La séance 128 est consacrée à la division-partition (ce terme n’est pas à connaître par les élèves). Il s’agit de déterminer la valeur d’une part (nombre d’objets dans chaque groupe).

Projeter la page 86 du fichier B et questionner les élèves : « Comment faire pour partager équitablement 12 pommes entre les 3 enfants ? » Demander aux élèves d’observer à nouveau la situation illustrée enpage 79 du fichier B et d’identifier l’enfant qui réalise un partage équitable (Alice). Faire le lien avec la situation de la page 86.

Diviser les élèves en groupes de trois, donner à chaque groupe un sac de 12 jetons (représentant les pommes) et à chaque élève une assiette en carton. Présenter l’activité :     « Vous devez répartir les 12 jetons dans 3 assiettes. Attention, chaque assiette doit contenir le même nombre de jetons. » Laisser les élèves s’organiser et observez les procédures. Lors de la mise en commun, faire verbaliser toutes les procédures : mettre un jeton dans chaque assiette plusieurs fois, ou bien mettre plusieurs jetons à la fois dans les assiettes, comparer puis enlever ou ajouter des jetons jusqu’à ce qu’il y ait le même nombre de jetons dans chaque assiette. Comparer les résultats obtenus : il doit y avoir quatre jetons dans chaque assiette.

« Nous avons divisé 12 pommes en 3 groupes égaux. Ce procédé s’appelle le partage équitable. »
Interroger les élèves : « Que trouverait-on si on rassemblait les 3 groupes de 4 pommes ? »

Écrire au tableau :

Division : partager 12 en 3 groupes égaux. On trouve 4. Multiplication : réunir les 3 groupes de 4. On retrouve 12.

2. Autres situations de partage

individuel | 10 min. | découverte

Demander aux élèves d’observer l’exercice 1 page 86 du fichier B. « Comment faire pour partager équitablement les 8 bananes en 4 groupes ? » Inciter les élèves à représenter la situation avec des jetonsavant de compléter leur fichier. Demander de faire de même pour l’exercice 2.

Indiquer qu’en mathématiques, diviser consiste à partager une quantité en groupes égaux, puis laisser les élèves compléter la première partie de l’exercice 3. Représenter ensuite la situation des 19 oranges partagées en 3 groupes à l’aide de jetons afin d’introduire la notion de reste non nul, caractéristique de la division.

3. Entraînement

individuel | 20 min. | entraînement

Distribuer l’activité 4 pages 251 à 254 des fiches photocopiables.

Pour l’exercice 1, expliquer le terme « ensemble » qui correspond ici aux aliments d’une même catégorie. Identifier, en les pointant, les cadres permettant de constituer les groupes d’aliments pour chaque enfant.

Collectivement, donner un exemple en répartissant les trois œufs : un œuf dans chaque groupe.

Dans l’exercice 3, rappelez la notion de reste non nul liée au partage équitable.

Laisser ensuite les élèves travailler individuellement.

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Regroupons

Dernière mise à jour le 31 mars 2019
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Diviser une quantité en groupes égaux, le nombre d’objets dans chaque groupe étant donné. Réaliser que certains problèmes relèvent de situations de partage. Chercher, tester plusieurs pistes proposées
par soi-même, les autres élèves ou l’enseignant.

• La division peut avoir le sens de regroupement. Dans ce cas, le nombre total d’objets et le nombre d’objets par groupe sont connus : je cherche le nombre de groupes.
• Pour trouver le nombre de groupes, j’entoure le nombre d’objets par groupe, puis je compte les cercles.
Durée
40 minutes (3 phases)
Matériel
Fichier B : p. 88
Matériel pédagogique :
assiettes en carton, cubes multidirectionnels, jetons
Informations théoriques
Différenciation
Soutien :
S'assurez-vous que les élèves en difficulté ont compris la différence entre la recherche du nombre de groupes et la recherche de la valeur d’un groupe. Passer par le dessin et la verbalisation de ce qu’ils connaissent et de ce qu’ils cherchent pour reformuler les deux situations.
Approfondissement : Demander aux élèves avancés de résoudre deux problèmes de division avec les mêmes données. « Tom a 12 billes, il partage son paquet en 2 groupes : combien y a-t-il de billes dans chaque groupe ? » et « Tom a 12 billes, il fait des groupes de 6 billes. Combien de groupes égaux peut-il faire ?

Activité bonus
Inventer des histoires de divisions
Demander à un élève de choisir
un nombre entre 10 et 20, puis un nombre entre 1 et 10. Collectivement, les élèves doivent inventer une histoire de division-quotition. Exemple : « J’ai 18 crayons, je veux
en donner 6 par enfant, combien d’enfants auront 6 crayons ? »
Remarques
Évaluation continue
Vérifier que les élèves font bien la différence entre les deux types de divisions. Distribuer à chaque élève 10 jetons et une pile de 5 assiettes en carton et demandez-leur de mimer une situation de partage (exemple : répartir équitablement les 10 jetons dans les 5 assiettes) et une situation de groupement (exemple : faire des groupes de 2 jetons).

1. Regrouper 12 pêches

collectif | 20 min. | découverte

La recherche du nombre de groupes correspond à la division- quotition, souvent rencontrée dans la vie quotidienne (le terme « division-quotition » n’est pas à connaître par les élèves). Le nombre total d’objets et la valeur d’une part sont connus, on cherche le nombre de groupes.

Projeter l’encadré « J’observe » de la page 88 du fichier B. « Idris a 12 pêches. Il veut faire des groupes de 3 pêches. Combien y aura-t-il de groupes ? »

Demander aux élèves d’observer à nouveau la situation illustrée en page 79 du fichier B et d’identifier l’enfant qui réalise un regroupement (Maël). Faire le lien avec la situation de la page 88. Prendre 12 jetons et expliquez aux élèves qu’ils représentent les 12 pêches. « Je veux grouper mes 12 pêches dans des assiettes qui peuvent contenir 3 pêches. De combien d’assiettes ai-je besoin ? » Appeler un élève pour réaliser cette manipulation devant toute la classe. Demander de mettre 3 jetons dans une assiette. « Peux-tu faire encore un groupe de 3 ? » Faire remplir une autre assiette, puis une autre et ainsi de suite.

Insister sur la différence de manipulation par rapport au partage équitable : pour ce dernier, on met un jeton par assiette, puis on recommence jusqu’à ce qu’on n’ait plus de jetons. Pour le groupement, on remplit l’assiette du nombre final de jetons, puis on passe à l’assiette suivante.

« Nous avons “divisé” 12 pêches par groupes de 3, nous avons pu faire 4 groupes. Ce procédé s’appelle le regroupement. »


Souligner la relation avec la multiplication : « Que trouverait-on si on rassemblait 4 groupes de 3 pêches ? » (Réponse : on retrouverait les 12 pêches de la situation initiale.)

Écrire au tableau :

Division : regrouper 12 par groupes de 3. On trouve 4. Multiplication : réunir les 4 groupes de 3. On retrouve 12.

2. Autre situation de regroupement

collectif | 10 min. | entraînement

Demander aux élèves d’observer l’exercice page 88 du fichier B. « Comment peut-on grouper les cerises ? » Faire verbaliser la procédure des élèves : on entoure un premier groupe de 5 cerises, puis un deuxième... On trouve au total 3 groupes égaux.

Demander aux élèves : « Que se serait-il passé si nous avions eu 16 cerises ? 18 cerises ? 20 cerises ? »

3. Entraînement

collectif | 10 min. | entraînement

Au cours d’une séance d’EPS, proposer le problème suivant aux élèves : « Je veux distribuer 1 ballon par groupe de 4 élèves. Combien de ballons me faut-il ? »

Demander aux élèves de s’organiser comme ils le souhaitent : ils peuvent choisir de faire un grand dessin et d’encercler 4 élèves à la fois, prendre un nombre de compteurs égal au nombre d’élèves de la classe, tels des cubes multidirectionnels, et les emboîter 4 par 4, etc. Laisser aux élèves le choix des outils dont ils ont besoin leur permet de progresser efficacement dans la résolution de problèmes.

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Regroupons - 2

Dernière mise à jour le 31 mars 2019
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Diviser une quantité en groupes égaux, le nombre d’objets dans chaque groupe étant donné.
Chercher, tester plusieurs pistes proposées par soi-même, les autres élèves ou l’enseignant. Dénombrer une collection.

• Je sais diviser une collection en groupes égaux.
• Je sais entourer le même nombre d’objets dans chaque groupe.
• Je sais compter le nombre de groupes égaux.
• Je sais calculer le nombre total d’objets quand je connais le nombre d’objets dans un groupe et le nombre de groupes.
• Je sais grouper en utilisant des objets, un dessin, les multiplications que je connais.
Durée
40 minutes (3 phases)
Matériel
Fichier B : p. 89
Fiches photocop. : Act. 5 pp. 255-256
Matériel pédagogique :
1 sac de 30 jetons, 1 feuille A3 et 1 feutre par groupe de 4 élèves, allumettes ou crayons
Informations théoriques
Différenciation
Soutien :
Pour les élèves en difficulté, proposer un entraînement avec des collections d’objets alignés afin de faciliter les regroupements. Demander d’utiliser des couleurs différentes pour entourer les groupes et de dénombrer les groupes en les pointant du doigt.
Approfondissement :
Demander aux élèves avancés d’inventer une histoire avec 15 roses et des bouquets de 3 roses. Combien de bouquets peuvent-ils faire ? Y a-t-il d’autres groupements possibles.

Activité bonus
Semer des graines
Utiliser les activités de jardinage pour exercer
les élèves.
Exemple : dans un sachet de capucines, il y a 20 graines. Si on met 2 graines par pot, combien de pots doit-on prévoir ? Même question
si on met 4 graines par pot.
Remarques
Évaluation continue
Pendant que les élèves réalisent l’exercice 2 page 89, vérifier leurs stratégies. Il y a ceux qui commencent par calculer le nombre total d’abricots, ceux qui choisissent eux-mêmes le nombre d’abricots à mettre dans un groupe, ceux qui s’inspirent du phylactère d’Adèle, ceux qui procèdent étape par étape... La dernière question permettra de voir si le lien entre la multiplication et la division a bien été fait. Sinon, utiliser des cubes regroupés à l’intérieur de groupes matérialisés par des ficelles (voir séance 126).

1. Faire des groupes

collectif | 20 min. | réinvestissement

Diviser la classe en groupes de 4 élèves et donner un sac de 30 jetons par groupe. Demander aux élèves de chercher en combien de groupes de 6 jetons on peut diviser le contenu du sac. Inciter à écrire leur procédure sur une affiche.

Lors de la mise en commun, comparer toutes les procédures : on dessine les 30 jetons et on entoure des groupes de 6 ; on dessine des groupes de 6 jetons et on compte jusqu’à 30 ; on compte de 6 en 6 jusqu’à 30.

Vérifier avec les élèves qu’il y a 5 groupes, qu’ils sont tous égaux et contiennent 6 jetons. Collectivement, rappeler la situation initiale et ce qui a été fait : « Nous avons divisé 30 jetons en 5 groupes de 6 jetons. Nous avons fait 5 groupes égaux de 6 jetons. »

2. Étude de la page 89 du fichier B

collectif | 10 min. | réinvestissement

Demander aux élèves d’ouvrir leur fichier B page 89 et d’observer l’exercice 1. Collectivement, faire formuler ce qu’on connaît de la situation et ce qu’on cherche, puis laisser les élèves résoudre le problème. Analyser les erreurs possibles : les melons n’étant pas alignés, les élèves peuvent oublier ou ajouter des melons. Inciter les élèves à entourer les groupes de 4 melons.

Comparer ensuite l’exercice 2 avec la situation précédente. Identifier les données implicites. Le nombre total de pêches et le nombre de pêches par groupe ne sont pas écrits : il est ici nécessaire de passer par le dénombrement. À partir du résultat obtenu, rappeler les activités réalisées lors de la séance 126 sur la multiplication. Cet exercice 2 permet d’observer si les élèves sont capables de réinvestir les notions liées à la multiplication.

3. Entraînement - coll puis individuel

collectif | 10 min. | entraînement

Distribuer aux élèves l’activité 5 pages 255 et 256 des fiches photocopiables. Observer les trois exercices page 255 et questionnez les élèves sur ce qu’ils doivent faire. Insister sur le terme « diviser » : « On divise le nombre de sacs en groupes de 5. »

Constater qu’on ne connaît pas le nombre total d’objets pour chacune des collections.

Cette situation permet de revenir sur la multiplication (opération inverse de la division) : si on connaît le nombre d‘objets par groupe et le nombre de groupes, on peut calculer le nombre total d’objets. On utilise l’addition réitérée (ou la table d’addition pour les doubles). 

Page 256, les situations- problèmes sont complexes. Les élèves doivent être capables de lire et d’interpréter les données chiffrées ainsi que les formes géométriques à réaliser. Les situations peuvent être modélisées avec des allumettes ou des crayons.

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Ce que j'ai appris

Dernière mise à jour le 31 mars 2019
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Le point sur ce que les élèves ont appris et compris en fin d’unité 15. Trois activités au choix : « Mon journal », une exploration stimulante et « Jouons avec les maths ».
Durée
40 minutes (3 phases)
Matériel
Fichier B p.90
Informations théoriques
Bingo !
Télécharger les instructions sur www.methodedesingapour.com. Le jeu consiste à associer une carte- groupe au résultat affiché sur la grille de bingo. La situation est stimulante et permet aux élèves de réinvestir sous une forme ludique les compétences liées à la multiplication : associer le nombre de groupes et la valeur d’un groupe au nombre total d’objets.

1. Ce que j’ai appris

collectif | 15 min. | mise en commun / institutionnalisation

Prendre le temps d’observer la page 90 du fichier B en trois étapes. Pour la multiplication, l’objectif est de comparer avec les élèves l’organisation des deux collections et de constater que le nombre total d’objets est le même. Rappeler les phases de la recherche : passer du dessin à l’addition réitérée, compter le nombre de groupes égaux et traduire le résultat par une phrase mathématique avec le signe de la multiplication. Insister sur les rôles différents du multiplicateur (nombre de groupes) et du multiplicande (nombre d’éléments dans chaque groupe). Cela explique pourquoi il y a deux interprétations différentes de la division : la recherche du nombre de groupes quand on regroupe ; la recherche du nombre d’objets dans chaque groupe quand on partage.

Rappeler que quand on partage (division-partition), on connaît le nombre total d’objets ainsi que le nombre de groupes égaux. On cherche le nombre d’objets par groupe.
Rappeler que quand on regroupe (division-quotition), on connaît le nombre total d’objets et le nombre d’objets par groupe. On cherche le nombre de groupes.

2. Explorons

collectif | 10 min. | réinvestissement

Les exercices 1 et 2 « Explorons » (pages 257 et 258 des fiches photocopiables) sont difficiles car ils n’ont pas la même structure que celle des exercices vus jusqu’à présent dans l’unité. Proposer seulement un exercice à certains élèves, tandis que d’autres pourront réaliser les deux. Mener une discussion en classe entière pour trouver d’autres réponses à ces deux exercices.

3. Mon journal

individuel | 15 min. | mise en commun / institutionnalisation

L’exercice proposé permet d’identifier les structures multiplicatives, de partage ou de groupement maîtrisées par les élèves. Vérifier que les élèves utilisent toutes les données connues, c’est-à- dire le nombre total de noisettes et d’écureuils, pour inventer leur histoire. Valider les histoires pour lesquelles l’écriture des étapes de la multiplication ou de la division est correcte, même si certains élèves n’utilisent pas toutes les données.