Comprendre le sens de la division (1)

Discipline
Nombres et calculs
Niveaux
CE2.
Auteur
O. NGUYEN TANG
Objectif
Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul

- Résoudre des problèmes de partage et de groupement (ceux où l'on cherche combien de fois une grandeur contient une autre grandeur, ceux où l'on partage une grandeur en un nombre donné de grandeurs).


- Modéliser ces problèmes à l’aide d’écritures mathématiques :
o sens des symboles +, −, ×, :

Relation avec les programmes

Cycle 2 - Programme 2020

  • Résoudre des problèmes de partage et de groupement (ceux où l'on cherche combien de fois une grandeur contient une autre grandeur, ceux où l'on partage une grandeur en un nombre donné de grandeurs).
Dates
Créée le 15 mai 2022
Modifiée le 28 mai 2022
Statistiques
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Licence
CC-BY-NC-NDLicence Creative Commons : Paternité - Pas d'utilisation commerciale - Pas de modification ?.

Résoudre des problèmes du champ de la division

(séquence issue de la méthode Maths au CE2, Accès Editions)

Déroulement des séances

1

Les oeufs (1)

Dernière mise à jour le 28 mai 2022
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Résoudre des problème du champ de la division: recherche du nombre de parts
Durée
30 minutes (4 phases)
Matériel
- Au moins 13 boîtes vides de 6 oeufs
- 78 balles de ping-pong (ou de golf) pour remplacer les oeufs
- Les ardoises des élèves
- Un visualiseur pour projeter les recherches des élèves
Informations théoriques
Les notions préalablement travaillées au cours de l'année sont:

- Résoudre des problèmes du champ multiplicatif de différents types: à une étape; avec des objets disposés selon une représentation rectangulaire (en lignes et colonnes) ; à deux étapes.
- L'apprentissage des tables de multiplication
- En calcul mental, la formulation "Dans X, combien de fois Y" est rencontrée régulièrement par les élèves

1. Résoudre un problème de division (division exacte): recherche du nombre de parts

collectif | 5 min. | découverte

- Commencer par présenter le matériel pour aider les élèves à comprendre le problème posé avant de s'engager dans la recherche . 

- Présenter l'énoncé du problème écrit au tableau:

La fermière a ramassé 78 oeufs. Elle veut remplir des boîtes de 6 oeufs. Il doit rester le moins possible d'oeufs qui ne sont pas rangés dans les boîtes. Il faut remplir le maximum de boîtes. Combien de boîtes peut-elle remplir? 

- Collectivement, faire verbaliser les élèves autour de leur compréhension de la situation et du vocabulaire qui pourrait leur poser des difficultés;

Leur demander:   "Que cherche-t-on?"

 

 

2. Recherche individuelle

individuel | 10 min. | recherche

- Individuellement, sur leur ardoise, les élèves cherchent à résoudre ce problème. 

- L'enseignant circule dans la classe pour s'assurer que tous les élèves sont en capacité de commencer la recherche. Il guide les élèves en difficulté. 

Il leur propose du matériel s'ils n'arrivent pas à entrer dans la résolution du problème.

Il peut aussi choisir de mettre un place un atelier de type dirigé avec les élèves les plus en difficulté. 

3. Mise en commun: inventorier et confronter les différentes procédures utilisées par les élèves / verbalisation

collectif | 10 min. | mise en commun / institutionnalisation

- L'enseignant sélectionne quelques ardoises pour les projeter au tableau grâce au visualiseur. 

- Mutualisation et analyse collective des différentes procédures utilisées en commençant par les démarches les moins abouties.

Les erreurs sont traitées de façon positive par l'enseignant pour permettre aux élèves de prendre conscience de la nécessité de construire une connaissance nouvelle plus rapide et efficace que le dessin par exemple. 

Les procédures possibles utilisées par les élèves sont: 

- L'élève dessine les boîtes d'oeufs et dénombre les oeufs avec erreur 

- L'élève dessine et dénombre les boîtes complètes sans erreur

- L'élève cherche à résoudre  6 X ? = 78 en procédant par essais en réalisant des approches successives  6 X 12 puis 6 X 13

- L'élève utilise un schéma pour compter de 6 en 6 et additionne les 6 représentés jusqu'à 78

- L'élève procède à des essais additifs avec une addition répétée de 6 jusqu'à 78

_ L'élève cherche à résoudre  ? x 6 = 78  en écrivant la table de 6 jusqu'à obtenir  13 X 6 = 78

 

- La validation s'effectue grâce au matériel (boîtes d'oeufs et balles de ping-pong) présentées en début de séance. 

Vérifier que les solutions proposées par les élèves respectent les contraintes fixées:

- Partage en parts égales de 6 oeufs

- Partage maximum réalisé donc reste inférieur à 6

 

4. Institutionnalisation: Formuler ce qu'il faut retenir

collectif | 5 min. | mise en commun / institutionnalisation

- Reformulation:

Reprise par l'enseignant de ce qui vient d'être fait : Nous avons cherché combien on peut faire de paquets de 6 avec 78 oeufs. On peut trouver le résultat avec des procédures différentes. Nous avons trouvé que la fermière peut remplir 13 boîtes de 6 oeufs et il reste 0 oeuf. 

On dit que 78 oeufs divisés en boîtes de 6 oeufs, cela fait 13 boîtes et il reste 0 oeuf. 

- Structuration par l'enseignant/ formulation de ce qu'il faut retenir:

Pour trouver combien de fois il y a 6 oeufs dans 78 oeufs, on utilise une opération qui s'appelle la division.

La division permet de savoir: combien il y a de fois 6 dans 78 ? ; c'est à dire en 78, combien de fois 6 ? 

- Faire verbaliser les élèves autour de ces structures de phrases: En 78, il y a .... fois 6 et il reste ... 

- L'enseignant reprend: "On dit que l'on divise 78 par 6 ou que 78 divisé par 6 est égal à 13 "

- Il poursuit: "On utilise le signe :qui veut dire divisé par ". 

- Il écrit au tableau 78 : 6 = 13 , en verbalisant "78 divisé par 6 égale 13"

 

2

Les oeufs (2)

Dernière mise à jour le 28 mai 2022
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Résoudre des problèmes du champ de la division: calculer des quotients et des restes en utilisant l'égalité
a= (b x q) + r
Durée
30 minutes (4 phases)
Matériel
- 5 boîtes vides de 6 oeufs
- 29 balles de golf (ou jetons ou cubes)
- Les ardoises des élèves

1. Recherche: résoudre un problème de division (division avec reste)

collectif | 5 min. | découverte

- Présenter le matériel puis l'énoncé du problème écrit au tableau: 

La fermière a ramassé 29 oeufs. Elle veut remplir des boîtes de 6 oeufs. Il doit rester le moins possible d'oeufs qui ne sont pas rangés dans les boîtes. 

Combien de boîtes peut-elle ranger au maximum? 

- Collectivement, faire verbaliser les élèves autour de la compréhension de la situation et autour de la formule "Qu'est-ce que l'on cherche?"

 

2. Recherche individuelle

individuel | 10 min. | découverte

- Individuellement, sur leur ardoise, les élèves cherchent à résoudre ce problème.

-  L'enseignant circule dans la classe pour s'assurer que tous les élèves sont en capacité de commencer la recherche. Il guide les élèves en difficulté.

Il propose aux élèves qui en ont besoin d'utiliser le matériel disponible.

Il peut aussi choisir de faire travailler les élèves les plus en difficulté en petit atelier de type dirigé. 

3. Mise en commun: Inventorier et confronter les procédures utilisées

collectif | 10 min. | mise en commun / institutionnalisation

Mutualiser et analyser collectivement les différentes procédures utilisées en commençant par les démarches les moins abouties.

Les procédures possibles utilisées par les élèves:

- Faire une addition itérée de 6 ou une soustraction itérée de 6 à partir de 29

- Tenter des essais de produits pas 6.

- Utiliser un résultat connu de la table de multiplication par 6

Validation du problème avec le matériel

- Vérifier que les solutions proposées respectent les contraintes fixées:

- Partage en parts égales de 6 oeufs

- Partage maximum réalisé donc reste inférieur à 6

 

4. Institutionnalisation: Inventorier les procédures utilisées pour produire et vérifier des alignements d'objets

collectif | 5 min. | mise en commun / institutionnalisation

Reformulation par l'enseignant 

Nous avons cherché combien il y a de fois 6 oeufs dans 29 oeufs.

On peut remplir 4 boîtes de 6 oeufs (6 x 4 = 24) et il reste 5 oeufs.

On a divisé 29 par 6. Mais on ne peut pas écrire 29 : 6 car il y a un reste, ce n'est pas une division qui tombe juste.

Alors, on écrit:  29 =  (6 x 4) +

4: c'est le quotient 

5: c'est le reste

Structuration 

Le quotient

On dit que 4 est le quotient de la division de 29 par 6.

C'est le résultat de la division de 29 par 6

Le reste

Le reste est égal à 5. Avec 5 oeufs, on ne peut pas remplir une boîte de 6 emplacements. 

 

3

Les ficelles

Dernière mise à jour le 28 mai 2022
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Résoudre des problèmes du champ de la division dans un contexte de mesures de longueurs
Durée
50 minutes (3 phases)
Matériel
- 4 morceaux de ruban ou de ficelle de 48 cm chacun
- les ardoises des élèves
Informations théoriques
Ce qui a déjà été travaillé lors de séquences précédentes:
- Résoudre des problèmes impliquant les longueurs à une ou deux étapes
- Faire des correspondances entre mètre, décimètre et centimètre.

1. Entraînement: résoudre des problèmes de division

individuel | 20 min. | entraînement

- Collectivement: présenter une ficelle de 48 cm

- Individuellement, Demander aux élèves de résoudre successivement sur leur ardoise les problèmes 1, 2 et 3 écrits au tableau. 

Problème 1: Dans un ruban de 48 cm, combien de morceaux de 5 cm peut-on découper ? S'il reste un morceau de ruban, indiquez sa longueur. 

Problème 2: Dans un ruban de 48 cm, combien de morceaux de 8 cm peut-on découper? S'il reste un morceau de ruban, indiquez sa longueur. 

Problème 3Dans un ruban de 48 cm, combien de morceaux de 10 cm peut-on découper? S'il reste un morceau de ruban, indiquez sa longueur. 

 

2. Mise en commun: Inventorier et confronter les procédures utilisées

collectif | 15 min. | mise en commun / institutionnalisation

- Pour le problème 1: Après confrontation des différentes procédures, l'enseignant fait remarquer qu'il est plus facile de chercher combien il y a de fois 5 dans 48. Constater que 48 n'est pas un multiple de 5 (il ne se termine pas par 0 ou 5).  Il y aura donc un reste. 

Validation: Faire vérifier le résultat avec l'égalité: 48 = (5 x 9) + 3 et en découpant 9 morceaux de 5 cm dans le ruban de 48 cm. 

Faire verbaliser que 9 est le quotient et 3 le reste. 

Faire constater en découpant le ruban que le reste de 3 cm est plus petit que les morceaux de 5 cm qui ont été découpés. 

Prolongement: demander aux élèves de chercher quel schéma (modèle en barres)  pour aider les élèves à trouver la solution.

Pour le problème 2: Après confrontation des différentes procédures, l'enseignant fait remarquer qu'il est plus facile de chercher combien il y a de fois 8 dans 48.

L'enseignant écrit: 48 : 8 = 6 et vérifie avec l'égalité: 6 x 8 = 48 . Le reste est égal à 0. 

- Pour le problème 3: Après confrontation des différentes procédures, l'enseignant fait remarquer qu'il est plus facile de chercher combien il y a de fois 10 dans 48.

Il fait vérifier le résultat avec l'égalité: 48 = (10 x 4) + 8 et en découpant 4 morceaux de 10 cm dans le ruban de 48 cm. 

Faire verbaliser que 4 est le quotient et 8 le reste. 

Faire constater avec le matériel que le reste de 8 cm est plus petit que les morceaux de 10 cm qui ont été découpés. 

3. Résoudre un problème de division: trouver le dividende

individuel | 15 min. | réinvestissement

- Présenter le problème 4: Dans une ficelle, je peux découper 7 morceaux de 8 cm chacun. Il me restera alors un morceau de 3 cm. Quelle est la longueur de ma ficelle? 

- Recherche individuelle

- vérification collective avec le matériel: Ecrire l'égalité (8 x 7) + 3 = 59

Faire verbaliser que dans une ficelle de 59 cm, je peux découper 7 fois 8 cm et qu'il me reste un morceau de 3 cm.