Nombres, calcul et résolution de problèmes en CP, CE1 et CE2 (cycle 2) page 23 - fiches de préparation, séquences

Introduction L’addition et la soustraction sont deux concepts fondamentaux des mathématiques, dont on trouve des applications dans de nombreuses situations et de nombreux domaines, y compris en dehors des mathématiques. La soustraction est une opération très riche dans la mesure où elle s’utilise dans des contextes variés, avec différents sens. • Le sens « retrancher » : j’ai 5 fraises, j’en mange 2, combien m’en reste-t-il ? • Le sens « décomposer » : j’ai 5 livres, 2 sont rouges, les autres sont bleus. Combien y a-t-il de livres bleus ? • Le sens « comparer » : j’ai 7 stylos, ma sœur en a 9, combien en ai-je de moins qu’elle ? Le premier sens est le plus facilement accessible aux élèves, et c’est avec lui que la soustraction est introduite (séance 36). Dans cette unité, seuls les deux premiers sens sont étudiés. Le troisième sens sera vu dans l’unité 10. Addition et soustraction Mathématiquement, l’addition et la soustraction sont deux opérations réciproques. Partant d’un nombre quelconque, si l’on ajoute un nombre n et que l’on retranche ensuite ce même nombre n, on revient au nombre de départ : 5 + 2 – 2 = 5. De même, 5 – 2 + 2 = 5. Quand ils auront vu les nombres entiers relatifs, les élèves apprendront que retrancher n, c’est ajouter son opposé -n, et toute soustraction sera interprétée comme étant une addition : 7 – 3 = 7 + (-3). C’est pour préparer le terrain pour ces futurs apprentissages qu’il est important que les élèves acquièrent dès le CP une bonne compréhension du sens de la soustraction en lien avec celui de l’addition. Histoires de soustractions pas à des rédactions-types d’énoncés. Sinon, dans la résolution de problèmes, ils ne fonctionneront que par réflexes et non en mobilisant leur compréhension. Ainsi, un problème tel que « Il reste 2 voitures rouges et 5 bleues. Combien reste-t-il de voitures en tout ? » risquerait d’être résolu par le calcul 5 – 2, puisque l’énoncé contient l’expression-clé « combien reste-t-il ? » Phrases mathématiques Comme avec l’addition dans l’unité 4, il faut souligner que les phrases mathématiques faisant intervenir la soustraction suivent des règles précises (voir l’introduction de l’unité 4). Ce parallèle entre phrases françaises et phrases mathématiques permet de faire sentir le côté concret des mathématiques : on peut tout à fait exprimer une soustraction en langage usuel (phrase française) mais on utilise le langage mathématique parce qu’il est plus concis et plus adapté aux calculs qui seront faits ultérieurement. Différentes stratégies pour soustraire L’étude des unités 1 et 2 a fait acquérir aux élèves des compétences qui les ont préparés à l’apprentissage de l’addition (unité 4) et de la soustraction. Compter à rebours (unité 1, séance 3) prépare la compréhension de l’une des stratégies pour soustraire utilisées dans cette unité (séances 40 et 41). Saisir les relations entre le tout et les parties (unité 2) prépare la compréhension d’une autre stratégie (séance 39) mais permet surtout de réaliser que la soustraction sert à trouver, à partir du tout et de l’une des parties, l’autre partie. Les élèves vont découvrir dans cette unité trois stratégies principales pour soustraire : 1) en utilisant les familles de nombres, 2) en comptant à rebours, 3) en faisant des dessins. Cette variété de stratégies est très importante puisqu’elle donne aux élèves une meilleure compréhension de la notion de soustraction et leur permet de se créer des représentations mentales variées. Comme cela a été fait pour l’addition dans l’unité 4, il est demandé aux élèves d’inventer des histoires de soustractions afin qu’ils soient actifs et non de simples utilisateurs de méthodes stéréotypées. Rien de tel pour comprendre ce qu’est une soustraction que d’inventer soi-même un énoncé et résoudre le problème posé. (Cette remarque est d’ailleurs valable dans tous les domaines des mathématiques.) Comme pour l’addition, il est indispensable que les élèves ne s’habituent ferait que nuire à cette acquisition. Prenez le temps d’aider les élèves à acquérir une compréhension solide du sens de la soustraction. Insister prématurément sur l’aspect purement calculatoire ne

-manipuler puis passer à l'écrit pour savoir former des collections comportant au moins deux dizaines d'éléments et des éléments isolés -savoir former des groupes de 10 pour ensuite former la quantité 20, 30... -savoir combiner 20, 30 etc avec des unités pour former les nombres 21 à 29, 31 à 39 etc -savoir "faure 10" pour compter des quantités supérieures à 20.

Multiplier La multiplication exprime l’addition de groupes égaux, c’est-à-dire de groupes comportant le même nombre d’éléments. La multiplication est un moyen d’exprimer l’addition réitérée : on multiplie le nombre d’éléments d’un groupe par le nombre de fois où ce groupe se répète. L’objectif de cette unité est de reconnaître, lire, écrire et interpréter les phrases mathématiques qui contiennent le symbole « multiplié » (x). Une des principales difficultés est la reconnaissance du multiplicateur (le nombre de fois où l’on multiplie) et du multiplicande (le nombre d’éléments multipliés). En effet, 4 x 3 (4 fois 3) est la répétition à 4 reprises de 3 éléments : 3 + 3 + 3 + 3. Ici, la valeur du groupe est 3, le nombre de fois où ce groupe est répété est 4. Le nombre « 3 » est écrit 4 fois, il est multiplié par 4. La multiplication étant commutative, on peut écrire 4 x 3 = 3 x 4. Cette égalité se lit de deux façons : 4 fois 3 (3 + 3 + 3 + 3) égale 3 fois 4 (4 + 4 + 4) et 4 multiplié par 3 égale 3 multiplié par 4. Il est important de faire remarquer aux élèves que le résultat de ces deux écritures est identique : 4 x 3 = 3 x 4 = 12. Il existe deux types de problèmes liés à la multiplication : • les problèmes faisant appel à l’addition réitérée, où le multiplicateur et le et le multiplicande ont des rôles asymétriques • les problèmes mettant en jeu un produit de mesures, où la représentation rectangulaire rend lisible la commutativité de la multiplication. Partager et regrouper Dès l’école maternelle, les élèves se familiarisent avec la notion de partage, qui consiste à diviser quelque chose en parts, en vue de les distribuer. La division-partition, où l’on cherche la valeur d’un paquet connaissant le nombre de paquets identiques, est facilement comprise par les enfants. Elle est basée sur le sens de ce qui est juste. Cette expérience du partage est souvent illustrée par des problèmes sur la nourriture et les objets familiers (billes, cubes...). Les problèmes de groupement (division-quotition), qui consistent à chercher le nombre de groupes, connaissant la valeur d’un paquet, sont moins faciles à appréhender. C’est par la fréquentation de petits problèmes simples, basés sur des quantités discrètes (objets qu’on peut compter), que les élèves vont passer de la manipulation à la modélisation (dessin, schéma), puis à l’écriture mathématique (chiffres et symboles).

L’unité 13 propose deux types de tableaux, à lecture horizontale ou verticale. Ces tableaux présentent d’abord quatre catégories (séances 104 et 105) puis cinq catégories (séance 106). Les éléments représentés dans le tableau sont soit concrets (verres, t-shirts), soit légendés (croix, pastilles) ; chaque élément du tableau correspond toujours à une seule unité. Ces tableaux peuvent faire l’objet de nombreuses interprétations de la part des élèves, et permettent de réinvestir des notions déjà travaillées : comparaison, rangement, soustraction, somme. Remarque : même si cette organisation des données a pour objectif de préparer à très long terme les élèves aux courbes d’analyse logique, évitez à ce stade es termes «axe» ou «graphique». La présentation de données sous forme de tableau va permettre aux élèves de résoudre des problèmes en appuyant leur raisonnement sur des représentations visuelles. C’est ce qui, dès le CE1, habituera les enfants à modéliser les problèmes sous forme de schémas en barres, schémas qui permettent de représenter les quantités connues et inconnues d’un problème et de donner un fondement visuel au raisonnement. En outre, dès le CE1 également, les tableaux vont évoluer de manière à ce que chaque élément représente plus d’une unité (1 pastille = 2 verres ; 1 croix = 3 enfants, etc.). Ainsi, les élèves, appliquant aux tableaux leurs connaissances nouvelles en multiplications, aborderont indirectement leurs premières suites numériques : y = 2x, y = 3x, etc. l

Attendus de fin de séquence : - Identifier un problème à plusieurs étapes. - Selon la question posée dans le problème ,traiter les informations appropriées.

Aborder la notion de multiplication via l'addition itérée

Soustraire sans retenue des nombres inférieurs à 1000.