Numération

"Imaginez que vous hzbitez dans un pays où l'on ne sait compter que jusqu'à 4, compris. On l'appellera le pays des 4. Vous avez des allumettes à vendre. Pour cela, vous avez besoin de savoir combien il y en a. Cherchez que faire pour trouver combien vous avez d'allumettes."

Vous pouvez très bien compter des enfants, des animaux, des bonbons... ce qui aide à l'abstraction car ils sont représentés par les allumettes.

L'enseigant prend soin, sans commentaires, de faire confronter les différentes façons de faire des élèves, soit en faisant déplacer les élèves entre eux, soit en reconstituant au tableau plusieurs types d'organisation trouvées.Ce qui peut avoir pour effet un remaniement par certains de leur propre organisation.

L'enseignant propose des élastiques pour matérialiser les paquets (car pas facile à manipuler, pour mieux voir...), mais il donne ces élastiques seulement après que chaque élève ait trouvé l'idée de grouper (pour ne rien induire avant) et après des confrontations, pour que chaque élève puisse modifier éventuellement ses modes de groupements. Matérialisation qui prépare la possibilité d'une pré-conceptualisation de l'existence d'unités autres que l'unité concrétisée tout d'abord par les allumettes.

Plusieurs possibilités se présentent:

• les élèves entourent avec des élastiques les paquets de 4 seulement et les 2 allumettes restantes disparaissent, ou sont elles mêmes entourées, ou sont isolées.
• coexistent paquets de 4, 3, 2 (avec ou non pose d'élastiques), avec ou sans allumettes isolées.

Refaire une manipulation avec les allumettes.

en demandant aux élèves d'observer ce qu'ils ont maintenant devant eux, l'enseignant demande:

Cherchez comment dire ce que vous avez fait. Ce que vous avez comme batonnets.

réponses  possibles: des groupes, des petits paquets, des fagots, des tas, 7 paquets de 4 et 1 de 2...

Ecrire les différentes expressions au tableau pour que chacun entre dans la réflexion.

L'enseignant ne fera pas de remarque sur la justesse ou non de ce qui est dit ou fait. Par contre, il rappellera la situation du pays des 4: on ne sait compter que jusqu'à 4, pas plus, 4 compris.

Devant le constat, fait par les élèves, qu'on ne peut pas comprendre ce qu'ils ont dit, dans ce pays de 4 et parce qu'avec le même nd d'allumettes on obtient des choses différentes, l'enseignant les renvoie a une recherche: alors que faire pour que l'on comprenne bien?

On peut voir l'hésitation et l'embaras des élèves car ils ont vu qu'il était nécessaire de grouper les allumetes sinon c'est impossible de compter. Et voilà que maintenant tout sembrouille. Oui mais on n'a pas fait tous les mêmes choses alors c'est normal qu'on ne dise pas la même chose.  Ce qui montre l'importance de quelles actions mener des le départ pour que ce soit commode pour chacun, mais aussi que ce soit lair pour tous.

On peut voir alors certains élèves rapprocher plusieurs paquets. Ainsi à un alignement regulier des paquets commence à se substituer des rapprochements et organisations du type:

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ou ||||   ||||   ||||   ||||

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||

Mais, des élèves continuent de grouper par 2 ou 3, davantage groupent par 4 tout de même, sans avoir bien conscience si c'est mieux ou non.

L'enseignant propose aux élèves d'autres élastiques pour aller jusqu'au bout de la matérialisation de ces nouveaux paquets ainsi formés sans pour autant leur montrer ce qu'il y a à entourer, en précisant de ne pas défaire les paquets déjà entourés d'élastiques (il est important en effet, que les élèves gardent sous leur yeux les étapes cumulées des faire successifs).

C'est un moment tès importantde la démarche où les élèves sont en train de créer une nouvelle unité d'ordre supérieur, paquets de paquets.

On voit donc apparaitre des gros paquets de 4 x 4 ou de 3 x 4  voire de 2 x 4.

Exemples de groupements formés: (soulignés signifie entourés d'un élastique)

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La encore, l'enseignant n'intervient pas quant au contenu. Il se contente d'organiser une autre confrontation, en reconstituant par exemple au tableau les "faire" les pluscaractéristiques. Une verbalisation pourra être suscitée, sans pour autant en faire, à cette étape là, un objet systématique de travail.

C'est un moment decisif de conduite opératoire. L'incitation à faire ne peut surgir que si l'élève a conscience:

des données concrètes présentes

du but de l'action (ici compter)

des contraintes de réalité vécue comme contradictoires (car on sait compter jusqu'à 4 mais on a bcp pls d'allumettes)

Donc ne pas hésiter à répater aussi souvent que nécessaire la sitation de départ, quitte à réduire certains groupes afin que chacun se sente concernés ar la tâche et s'implique à la résoudre. Tout le monde doit avoir assimiler cette étape de manipulation avant de pouvoir aller plus loin, ce qui leur servira à passer à l'abstraction.

C'est la perception par l'élève d'un objectif à atteindre en même temps que de sa propre possibilité d'agir qui lui donne envie de surmonter l'obstacle.

Faut il encore que l'élève soit incité à nommer l'obstacle, à le débusquer. D'ou l'action du jeu, où l'élève est acteur.

Il faut bien chercher quelles difficultés sont mobilisatrices, c'est-à-dire celles qui s'&vèrent indispensables pour engendrer des conduites opératoires.

En ce sens, la sele chose importante est cet auto questionnement qui va naitre chez l'élève face à la situation, vécue comme situation obstacle en même temps que pleinde de possibles dépassements. Auto questionnement non verbalisé auquel il ne répond pas d'ailleurs mais dont il s'empare directement dans une action tatonnante.Bien qu'il y ait deja des verbalisations (memes minimes), le travail propre sur la verbalisation viendra après, sur la base d'actions déjà menées, confirmées, pour ensuite les décrire ou les expliquer.

Les 1ères séances doivent prendre leur temps de développement et mêm si bcp d'élèves sont restés attachés à leur 1ers types de groupements (par 4, 3 ou 2), on s'assurera seulement qu'ils ont pu voir, entre eux, leurs différentes façons de faire. Pour cela, ne pas hésiter àles faire se déplacer plutot que de montrer a tableau.

Le travail se fait à partir d'un même nombre de batonnets ( 30, 27 ou 39 en base 10).

L'enseignant présente au tableau ceux des travaux des élèves qu'il a choisis (par leur différence spécifique pour les travailler et non parce que ce seraient les meilleures), avec toutes les précautions matérielles propres à bien visualiser les paquets réalisés (scotch, dessins) et les mots qui les désignent.

Pour la confrontation, il est nécessaire d'avoir en évidence les désignations différentes.

Par exemple, il pourra y avoir une incohérence entre la phrase et les paquets faits, auquel cas la mise en relation du "faire" et du descriptif fera surgir, dans son va et vient, la modification nécessaire.

On pourra trouver par exemple:

||||   ||||   ||||   ||||     entouré                          ||||   ||||   |||   entouré

décrit comme 1 gros paquet                   et un petit paquet

Le renvoi par l'enseignant à la classe (ou à l'équipe d'élèves) va permettre une prise de conscience par les élèves: est incorrect ce qui est désigné par petit paquet puisque sont regroupés aussi bien 2 paquets de 4 et 1 paquet de 3 (sous le terme petit paquet).

Le positif, cependant, ici, est dans la distinction faite entre les désignations de 2 types de paquets par les qualificatifs gros et petits.

Ou encore face à une organisation correcte :  ||||   ||||   ||||   ||||    entouré     ||||   ||||   |||

!il arrive que les élèves trouvent plusieurs façons de les désigner.

• 3 bonbons et 3 bonbons seulss: l'élève dissocie mentalement les unités non attachées (3 bonbons seuls) des autres unités (bonbons attachés), mais le vocabulaire est encore impuissant, ne sachant pas signifier ce qui est groupement et les différences entre les groupements alors quela réalisation "agie" est correcte.
• soit 3 paquets et 3 bonbons seuls, où apparait dans les mots, la distinction entre l'unité première et les paquets (mais indifférenciation entre ces derniers) qui sont nommés de la même façon alors qu'ils sont de nature différente.
• je vois 4 bonbons attachés, 2 bonbons et 3 qui sont seuls: les différentes unités sont dissociées (mentalement) mais pas par leur appellation  (sauf une esquisse dans le besoin depréciser attachés).
• 2 paquets de 4, 1 gros paquet et 3 tout seuls: la différenciation des 3 ordres d'unités apparait dans leur désignation. Toutefois, le descriptif (1 gros paquet de 4, sans indiquer qu'il est formé de 4 paquets de 4) est encore insuffisant.

L'erreur de la part de l'enseignant serait de chercher à rectifier. Ce serait prématuré. Il a à chercher justement comment relancer pour que ce soient les élèves eux mêmes qui rectifient, ajustent en mettant en relation des mots utilisés par les élèves et les types de paquets que veulent désigner ces mots. Mais il faut comprendre que les difficultés résident ici dans le fait que la précision de chaque désignation suppose une perception du tout, les gros paquets n'ayant de sens que par rapport aux petits paquets.

L'enseignant va être attentif va êtreattentif aux observations des élèves, pour les pousser jusqu'au bout (de leur propre logique). Ce qui peut se faire suivant plusieurs directions:

les paquets ne sont pas les mêmes (différence de nature entre les types de groupements)

dans l'un il y a des bonbons attachés et dans l'autre ils sont tous attachés (perception de l'unité de référence par rapport aux autres)

A partir du moment où un fil est tiré, il faut organiser le va et vient entre la parole des élèves et le résultat concret.

exemple:

"Pk t dis que les paquets ne sont pas les mêmes?

Montre les"

Il ne faut pas hésiter à défaire et refaire l'un ou l'autre des paquets pour mieux montrer ce que l'on désigne et mieux désigner ce que l'on montre !!! 

Les élèves ont mené jusque là une activité de codage: c'est-à-dire, à partir d'un tas informe de batonnets, en vrac, fabrication de paquets de différentes grosseurs 'dans les strucutres internes de groupements) puis désignation du résultat obtenu. Inversement on peu passer à une activité de réversibilité (du dire au faire.

Fixant un pays donné, demander aux élèves de constituer avec les allumettes ce que représente, 1 gros paquet, 3 petits paquets et 5 allumettes qui peut être aussi 1 train, 2 wagons et 5 bonbons. (en utilisant le vocabulaire mis au point collectivement).

Au terme de cette étape, l conceptualisation des unités d'ordre différentsest construite pour l'essentiel. Le travail sur les formulations, qui débouche sur le choix des mots significatifs pour traduire sans ambiguité les groupements différents réalisés, a été pour cela une médiation fondamentale, permettant la conscientisation des invariants.

Voila qu'il arrive une maladie curieuse dans ce pays: les habitants ne savent plus écrire de mots. Alors comment faire pour que l'on comprenne leur message?

Cette étape ne peut commencer que lorsque tous les élèves de la classe se sont construits réellement (concrètement et mentalement) les différents types d'unités (on ser à la 6ème ou 8ème séance), c'est-à-dire qu'ils savent faire convenablement, dans un pays donné, les groupements et de plus savent les désigner correctement (suivant le vocabulaire choisi par la classe)

Tous les moments de cette étape vont consister en un travail sur l'écriture elle-même, pour la réduire, la simplifier, en vue de parvenir à notre mode actuel de codification.

Cette phase ouvre un travail de simplification/unification dans la représentation d'un nb. Travail qui va être l'objet de nouveaux processus dont la difficulté réside dans l'exercice permanent d'une mise à distance réflexive, condition pour qu'il y ait à la fois mise en cohérence et recherche de simplification.

Après avoir pris un nb précis, dans un pays donné, et après avoir fait les groupements successifs, les avoir nommés avec les mots choisis en classe, alors intervient une nouvelle contrainte.

L'enseigant précise qu'on peut encore des chiffres, jusqu'à 4 compris. Si les élèves le demandent, on peut préciser qu'on sait qd même faire des dessins (mais en évitant qu'ils représentent exactement les batonnets et les groupements)

Une objection pourrait être soulevée: mnt que les élèves savent bien se servir des mots, pk les enlever?

Or les mots étant des vecteurs des groupements d'ordres différents (qu'ils ont aidé à dégager et à conceptualiser), il s'agira de chercher un autre mode de désignation de ces contenus: un codage, à inventer, qui permette un usage aussi commode que possible de ces contenus.

Représentation symbolique: on poursuit la recherche dans le champ spécifique des représentations symboliques dont le travail de simplification va en être l'objectif, champ décisif où l'imaginaire va aussi trouver à s'exercer.

Il est étonnant de constater combien d'élèves imaginent aisément des figures, signes à la place des mots. La confrontation organisée par l'enseignant, leur permet de voir la nécessité d'ne désignation commune et de la choisir.

x : gros paquet de 4 x 4

# : petit paquet de 4

o : unité

Alors avec ce nouveau nb, on leur demande de fabriquer l'étiquette du nb. On pourra avoir des écritures différentes: exemples de transcriptions:

xxo### écriture de type additif

2xx3###1o: où apparait le nb de paquets correspondants mais san sle 1

3#2x1o: écriture de type multiplicatif

La confrontation amènera que dans le 2 on se répète en qqsorte en mettant 2 et 3 alors que les signes s'ajoutent ensuite, d'où inutile de les compter puisque le chiffre y est.

Mnt l'écriture est plus commode et plus simple.

Plusieurs séances peuvent être menées pour préciser cette étape, avec des activités de codage et de décodage, dans des bases différentes.

L'enseignant pourra donner des nbs de 2 chiffres pour éviter une fixation sur les nbs à 3 chiffres. Il pourra aussi donner des nbs où l'une des 2 1ères unités est "absente, le zéro n'étant pas indispensable, il est inutile de le traiter ici.

On peut entre temps, organiser des jeux d'envoi de messages entre élèves ou groupes d'élèves.

Quand le maniement de cette nouvelle écriture est bien approprié par tous les élèves, on introduit une dernière contrainte.

On pourra parler des différents modes d'écriture à travers l'histoire: calculi, ecriture cunéiforme, ecriture égyptienne, maya

Une anomalie arrive encore dans ce pays: les gens ne savent même plus dessiner! Ils ne savent écrire que des chiffres.

A partir des travaux précédents des élèves et en s'assurant qu'elles soient claires pour tous, l'enseignant retranscrit au tableau les différentes symbolisations d'un même nb.

3 x 2 o 1#

1 # 3 x 2 o

2 o 3 x 1 #

On ne peut donc plus utiliser o x #, alors que faire?

Pourtant les élèves peuvent tout à fait contester et dire que ces écritures sont justes commodes, déchiffrables, justes, alors pk aller chercher encore?

Des apports historiques confortent cette idée en montrant qu'il a fallu bcp de temps à certaines civilisations pour se poser cette question, ou même que certains ont emprunté l'idée à d'autres.

Une discussion rapide peut alors s'engager dans la classe où certains peuvent trouver cependant qu'avec seulement des chiffres, ça ferait moins de choses à écrire. Mais la question demeure: comment faire?

A rappeler que l'enseignant n'intervient jamais en tant que c'est bien, ou c'est faux, mais il est là pour relancer la discussion.

Différentes propositions peuvent être amenés: comme en rang, les plus petits, puis les plus grands...; utiliser des couleurs différentes, ou bien des hauteurs de chiffres différentes.

Il s'agit ici que les élèves explorent (en faisant, chacun des propositions pour être en mesure d'apprécier par eux-mêmes celle qui leur parait la plus commode, la plus simple. Si les élèves restent fixés sur le choix de couleurs, on peut introduire comme situation plus contraignante et plus réaliste le fait de n'avoir qu'une couleur à disposition.

Dans 1 CM1, après que l'enseignante ait apporté le sens conventionnel de l'écriture des nbs (de droite à gauche en commençant par les unités), un élève lui fait remarquer que ce n'est pas normal puisqu'on lit de gauche à droite. Alors un élève d'origine maghrébine lui fait observer que par contre, dans l'écriture arabe, c'est normal. L'enseignante donne alors à ce moment l'info suivant laquelle l'écriture des nbs a été apportée par les Arabes (qui l'ont eux mêmes emprunté à l'Inde): et voilà l'intrusion, en situation, des valeurs culturelles propres.

La numération positionnelle a donc fait son apparition, l'introduction du zéro va alors prendre tout son sens.

Il en a été ainsi dans l'histoire de la numération où le l'introduction du zéro s'est faite bien après l'installation d'une écriture positionnelle.

On peut observer que la manipulation, encore nécessaire à un certain nb d'élèves, va être peu à peu délaissée au profit d'une description verbales des différentes unités.

Ainsi sera préparé le passage à la base 10, mais directement avec des nbs à 3 chiffres pour laquelle la manipulation deviendra trop encombrante (10 est désigné en montrant les 10 doigts et sans que jamais 10 ne soit écrit par l'enseignant; car l'objectif est que ce soient les élèves qui en trouvent l'écriture). Mais, il faudra, avant, l'introduction du zéro.

Lecture orale des nbs: cette lecture, quelle que soit la base, se fait de gauche à droite en lisant par exemple "trois, un, deux pour 312.

Il est très important que l'introduction du 0 se fasse comme nécessité fonctionnelle, comme il en a été historiquement, pour éviter des confusions dans la généralisation de l'écriture positionnelle et afin d'en rendre l'usage simplifié.

Car 0,dans son introduction par les hommes du passé n'a pas de valeur de nb, au sens de rendre comte d'un comptage. Ce n'est qu'au 19ème siècle, avec la notion de cardinal d'un ensemble vide, que 0, s'est vu attribuer la signification d'un nb et qu'il a été intégré notamment dans la suite des nbs entiers: 0,1,2,3,4... prenant ensuite la 1ère place de cette suite.

Il est important de constater que 0 a d'abord était introduit après 9 et non avant 1, pour signifier sa fonction spécifique liée à l'écriture positionnelle et non pas avec une fonction de nb.

Le zéro est de l'ordre d'une énigme qui, pendant des millénaires, a été refusé comme existant.

L'introduction du zéro dans cette démarche est donc mnt capitale puisqu'il s'agit d'en faire resurgir la nécessité, par rapport à ce qui vient d'être construit par les élèves. La situation proposée se présente comme réinvestissement de ce qui précède. Mais elle va s'avérer réinvestissement créatif puisqu'une nouvelle forme d'impossibilité va apparaitre, un manque auquel il faudra bien chercher à faire face.

Et si l'on veut laisser la balle dans le camp des élèves, en quelque sorte, il faudra pour l'enseignant savoir ne pas intervenir, si ce n'est en rappelant ce qu'ils ont construit dans la phase précédente.

On revient à la base 4, pour une manipulation aisée.

Maintenant puisque vous savez comment faire pour compter des objets au pays des 4, et que vous savez aussi comment écrire le nb trouvé; vous allez chercher à faire de même avec le nb suivant d'objets : 18, 24 et 6.

Ces nbs ne sont pas énoncés par l'enseignant, pour éviter toute confusion entre la désignation des nbs en base 10 et ceux en base 4.

Ce sont des tas d'allumettes déjà préparés par l'enseignant qui sont répartis entre les élèves: l'enseignant choisi soit un nb pour tous, soit une répartition entre des groupes différents d'élèves, pour organiser ensuite des confrontations. Il peut organiser un jeu entre quipes fonctionnant par paires. Aux unes par exemple, il donne 18 allumettes et aux autres 24. La consigne est que chaque équipe fabrique un message pour l'autre équipe, chacune devant déchiffrer à son tour le message numérique de l'autre.

Ainsi 18 allumettes (données directement comme ensemble d'allumettes déjà comptées par l'enseignant) vont se trouver au pays des 4 et suivant l'usage établi précédemment comme suit :1 gros paquet de 4x4 et 2 allumettes seules. ou à xoo ou x 2 o ou 1x2o.

et avec seulement les chiffres, hésitation entre 12et 21, rappeler la norme: les unités sont à droite.

Or le groêment manquant (petit paquet de 4 allumettes) pose pb pour l'écriture globale d nb, pour en rendre efficace la communication à d'autres. Peut être faudra-t-il attendre la manipulation avec les autres nbs à trouver (à partir de 24 ou 6 allumettes) pour que ce pb devienne plus flagrant pour les élèves. De toute façon vient le moment où s'affirme de façon plus forte la nécessité d'une représentation symbolique en conformité avec la convention d'écriture, non formellement, mais dans le but de se faire comprendre ou de comprendre soit même un message reçu.

C'est pourquoi l'échange de messages ente équipes d'élèves trouve sa raison d'être, mettant en acte cette nécessité de type social (propre aux communications). Nécessité y compris par rapport à soi-même quand on veut garder la mémoire écrite d'un comptage. D'où la prise de conscience qui vient d'une écriture dont la cohérence interne est liée à la commodité de son usage. Cohérence à construire entre les signes des groupes (paquets) d'ordres différents afin d'éviter toute confusion possible entre eux. D'où un moment d'étonnement, de questionnement (que faire?), de besoin de faire qchose qui permette de comprendre quels sont les paquets à compter. C'est dans ce moment de trouble que le besoin va grandir de trouver un signe pour indiquer cette place manquante, faute de quoi on ne peut déchiffrer: c'est la naissance de ce qui sera le zéro.

Ainsi tout le travail lancé auprès des élèves aboutit aux productions suivantes (base 4): (* ou tout autre signe)

à 18 allumettes correspond 1*2 qui deviendra 102

à 24 allumettes correspond 12* qui deviendra 120

à 6 allumettes correspond *12 ou 12 qui deviendra 012 ou 12

Le va et vient entre les groupements concrets d'allumettes (avec pose d'élastiques) et l'écriture numérique trouvée s'avère très important pour bien voir où il y a manque.

Confrontations: Mais pour que soit soulevé par les élèves la question que pose cet absence d'unité, que l'enseignant aura pris soin de faire reprendre, en début de cours, les conventions d'écriture préalablement construites. Qu'il y ait constitution d'équipes ou pas, en classe, il sera important que l'enseignant organise ne confrontation des résultats, en donnant la parole aux élèves pour s'en expliquer, avec, collés au tableau par exemple, les groupements obtenus pour chaque nb face à l'écriture trouvée.Des confrontations différentes seront discutées, travaillées avec l'ensemble de la classe:

• celle des groupements faits avec l'écriture correspondante pour chaque nb (qd par exemple: 2 désigne suivant le cas soit 2 unités, soit des groupes de 4; et 1 désigne soit un groupe de 4 soit un groupe de 4x4).
• celle des écritures différentes trouvées, suivant les élèves, pour un même nb (par exemple 1*2, 1-2 ou 102)
• celle des écritures différentes trouvées pour les différents nbs par exemple ce qui différencie 1*2 et 12*)

Il ne s'agit pourtant pas de noyer les élèves par trop de confrontations au tableau. C'est l'enseignant qui, ayant observé ici ou là telle ou telle façon de faire, et ayant en tête le cap à tenir, va sans doute choisir de faire confronter certains des résultats obtenus, notamment à partir de leur différence ou contradictions en s'assurant que la réflexion qui s'engage concerne toute la classe et ne se fasse pas seulement entre les élèves ou équipes concernées.. Mais pour cela, faut-il que soit assurée la représentation très concrète (avec les groupements d'allumettes face aux écritures numériques correspondantes), devant tous les élèves, des objets de la réflexion engagée.

Dans le cas où des équipes en doublette ont été organisées, il faut les laisser se rencontrer librement, pour que les élèves aient un espace de discussion et d'argumentation entre eux, avant de passer à une confrontation générale, laquelle pourra d'ailleurs s'appuyer sur les constats auxquels ont abouti les équipes adverses. L'enjeu pour l'enseignant, comme en bien d'autres moments de toute démarche, est qu'il s'apprenne lui-même à gérer de tels moments, dont l'organisation est tjs délicate mais les effets extrêmement fructueux.

Parce que de tels moments dépendent de la pertinence, pour l'enseignant, de se saisir de tel ou tel problème rencontré ici ou là, de telles différences, de telles contradictions pour en faire, en les élucidant ensuite en classe, des tremplins pour comprendre plus.

Mais s'il est vrai que les élèves se montrent capables de bien plus qu'on ne le croit dans les conceptualisations en cours, il est non moins vrai que l'enseignant lui-même, observant (souvent avec étonnement) les pas en avant positifs qu'apportent les élèves, saura s'en saisir pour le profit de tous. Et pour son propre profit, chemin faisant. Car s'il est un constat encourageant à faire, quand les élèves sont réellement impliqués dans la construction de leur savoir, c'est combien l'enseignant le devient, à la place qui est la sienne, dans l'analyse et l'affinement tjs en développement des modes de conduites d'animation à tenir, pour que se développent d'étapes en étapes de telles démarches.

A cette étape de la démarche, les élèves peuvent choisir de mettre un point, ou un trait, ou tout autre marque à leur guise pour indiquer l'unité manquante. Il est même heureux qu'ils inventent un signe à eux, faisant passer ainsi dans la symbolique un quelque chose qui fait existence pour eux. D'autant plus marquant que ce quelque chose est précisément rien, rien comme quantité mais pas rien comme place, comme position.

car ce nouveau venu, inattendu et fort insolite s'affirme indispensable à insérer pour que les chiffres écrits à sa droite ou à sa gauche puissent être lus, déchiffrés dans leur signification: comptage d'un certain nb de groupements, le type (l'ordre) de ces groupements étant manifesté par la position de chaque chiffre de droite à gauche, le référent étant l'unité, à l'extrême droite de ce positionnement.

Le signe 0 qui prend la place des marques trouvées par les élèves, est introduit plus tard dans le raisonnement par l'enseignant comme convention sociale et historique. Mais il peut l'être en chemin par les élèves eux-mêmes qui en ont déjà rencontrés l'usage. Pourtant ce signe, s'ils le connaissent, s'ils l'ont déjà rencontré, ils se trouvent maintenant en situation de pouvoir le faire leur, puisqu'ils se mettent à comprendre ce qu'ils savaient déjà.

Il est très important d'apporter là des documents et données historiques, le 0 n'ayant pas été inventé dans toutes les civilisations et de plus étant arrivé très tard dans nos pays européens.

Si des situations qui peuvent apparaitre anecdotiques apportent quelque piment, elles ont toutefois pour fonction de montrer à quel point les connaissances ont une histoire et combien les apports des cultures et civilisations, entre elles, ont été un facteur décisif dans la propagation et l'affinement de ces connaissances. Ainsi le 0 n'est-il apparu que dans certaines civilisations. Mis tjs cependant, en liaison avec une écriture positionnelle des nbs, et donc pour indiquer une absence, dans un positionnement donné.

Il est donc important que l'enseignant donne les moyens aux élèves de restituer le zéro non pas avec sa valeur de nb, qu'il a prise des siècles après mais comme signe à part qui n'intervient qu'au moment où la symbolisation se construit dans l'idée du positionnement du comptage des groupes différents, les uns par rapport aux autres.

Sachant qu'à partir de l'idée de positionnement, les usages de ce positionnement dépendent seulement des choix sociaux, collectifs ( tout comme il en est dans la classe qd il s'agit de déterminer un signe commun)

Ainsi le 0 devient il paradoxalement indispensable:

le 0 dans l'écriture numérique permet une immense commodité puisque grâce à lui, tous les nbs entiers (mais aussi d'autres nbs comme les décimaux) sans exception pourront être nommés et utilisés dans les calculs.

Le 0 joue un role fondamental dans la conceptualisation de la numération car son introduction intervient dans et pour le représentation de l'unicité globale du tout d'un nb (qui relie et structure les parties chiffrées de ce nb) : 132 tout comme 102 en base 4 designent chacun UN seul nb, alors qu'ils sont constitués de plusieurs chiffres, comme il en est de chaque mot constitué de plusieurs lettres.

C'est pour préserver cette unicité de signification que le zéro a pour fonction de situer les unités d'ordres différents entre elles, puisqu'elles dépendent les unes des autres. Donc le 0 permet de déchiffrer le nb en son entier par les unités d'ordres différents qui le composent et dont le zéro assure la lecture correcte. C'est en ce sens que réside l'extrême importance de 0, qui est de représenter rien pour faire le lien.

L'enseignant variera les exemples numériques et là aussi proposera des activités de codage et de décodage. Entre temps, il introduira, en base 4, par exemple 16 allumettes (tjs directement données, sans verbalisation ), afin que les élèves soient amenés à trouver 100. Mais il n'est pas assuré que les élèves pourront dès ce moment là faire le saut mental qui les conduit à construire et comprendre l'écriture 100.

C'est l'étape suivante qui sera décisive à cet égard dans la mesure où elle assurera une continuité de mise en cohérence de l'écriture successive de tous les nbs.

Nb de 2 chiffres

Ayant travaillé systématiquement sur les nbs à 3 chiffres, il est temps de réinvestir sur des nbs de 2 chiffres, par exemple 32. Là, les élèves peuvent être tentés de conserver l'écriture de 3 chiffres en mettant 032 par exemple ou encore 020. D'où la question (que les élèves ne se posent pas forcément) de ce 0 à gauche tout à fait conforme à ce qui a été fait jusque là, mais dont il y a à prendre conscience que son ecriture n'est pas du tout indispensable.

C'est la consolidation du principe de l'écriture positionnelle, liée à la maitrise du déchiffrage d'un nb de gauche à droite, qui amènera les élèves eux-mêmes à considérer comme inutile (quoique juste) tout 0 se trouvant à la gauche du dernier chiffre non nul le plus a gauche.

L'enseignant là encore, attendra que la question se pose aux élèves ou que des contradictions apparaissent entre élèves pour s'en saisir et les faire réfléchir, les faire argumenter à ce sujet, afin que ce soient eux-mêmes qui en arrivent à conclure que le ou les 0 à gauche deviennent non pas faux, mais inutiles à écrire, alors même qu'ils sont indispensables ailleurs.

Il sera utile aussi de noter de l'écriture de l'heure, par exemple 07heures04 maintient l'écriture du 0 placé en 1er, à gauche. Pour cause de machine avec 2 colonnes.

Ecrivez la suite des nbs, au pays des 4, c'est_à-dire à partir de 1, en ajoutant chaque fois 1 de plus (un batonnet de plus).