La division

• Matériel : annexe 1
• • Au préalable : rassembler un lot de 38 objets (pâtes, graines…).
  • Lire collectivement la situation de recherche.
  Faire reformuler ce que l’on connaît de la situation : On a une quantité totale de 38 gaufres ; on veut faire des paquets de 4 gaufres.
• Demander aux élèves de lire les bulles de texte dans l’illustration.
  Questionner : Combien de paquets de 4 pourrait- on former avec 8 gaufres ? Avec 12 gaufres ? Avec 13 gaufres ? (Réponses sur l’ardoise.)
• Que remarquez-vous dans le cas des 13 gaufres ? Identifier qu’il reste une gaufre et que cette quantité est trop petite pour former un nouveau paquet. Expliquer que parfois il reste une quantité trop petite pour faire un nouveau groupe : c’est le reste.
•  Faire lire la 1re question et expliquer ce que l’on doit chercher. Demander : À quel propos s’interrogent les trois personnages ? → À propos du nombre de paquets de 4 que l’on peut former avec 38 gaufres.
• Faire lire la 2nde question, puis laisser les élèves chercher les réponses individuellement en leur demandant d’écrire les calculs qui justifient leurs réponses.
• Regrouper les élèves qui en ont besoin et vérifier les réponses en passant par la manipulation si besoin.
• Pour la 2nde question : faire coller sur une affiche les 38 pâtes (graines ou autres), en groupements par 4 ; écrire en dessous « 9 × 4 ». Faire coller les deux éléments qui restent sur le côté et légender « reste ».
  • Mise en commun pour la 1re question.
  Questionner : Que doit-on calculer pour savoir si la grand-mère a raison ? → Le nombre de gaufres nécessaires pour faire 7 sachets. Collecter les propositions des élèves. Faire verbaliser que 7 sachets de 4, c’est 7 fois 4 gaufres. Comme 7 × 4 = 28,
  conclure qu’il faut 28 gaufres pour faire 7 sachets, et que donc la grand-mère dit vrai.
  Pour la réponse de Manon, demander, pour 8 sachets, combien on utilise de gaufres et combien il en reste. → 8 × 4 = 32 ; on utilise donc 32 gaufres et il en reste 6. Attirer l’attention sur l’expression « au maximum ». Questionner : À quel moment
  saura-t-on que l’on a fait le maximum de paquets
  de 4 ? → Quand il ne restera plus de gaufre ou quand le reste sera trop petit pour faire un nouveau paquet. Formuler que s’il reste 6 gaufres, le nombre de paquets formés n’est pas maximum. Conclure que Manon s’est trompée et que le produit « 8 × 4 = 32 » n’est pas assez proche de 38 pour donner le nombre maximum de paquets.
  Pour la réponse d’Émeric, demander : Pour 10 sachets, combien de gaufres utilise-t-on ? → 10 × 4 = 40 ; il faudrait donc 40 gaufres. Donc Émeric se trompe, car on ne peut pas faire 10 sachets de 4 gaufres.
  • Mise en commun pour la 2nde question :
  demander aux élèves du groupe en autonomie de proposer leur solution et de l’expliquer. Expliciter que pour trouver le nombre maximum de paquets de 4, on cherche dans la table de multiplication par 4 combien de fois 4 on a au maximum dans 38.
  Indiquer que l’on formule cette recherche par la question « En 38, combien de fois 4 ? ». L’écrire au tableau.
  Retenir que dans la table de multiplication par 4, le produit inférieur le plus proche de 38 est « 9 × 4 = 36 », et qu’en faisant 9 paquets de 4 gaufres, il reste 2 gaufres : on a donc fait le nombre maximum de paquets, puisque le reste est inférieur à 4.
• Montrer l’affiche des élèves qui ont travaillé en groupe et reporter en haut : En 38, combien de fois 4 ? Formaliser le résultat trouvé en écrivant sur l’affiche « 38 = (9 × 4) + 2 » ; légender : 2 → reste.
  Verbaliser l’égalité écrite : En 38, il y a 9 fois la quantité 4 et il reste 2. On peut faire 9 paquets de 4 au maximum et il reste 2 gaufres.
• Expliquer que dans un problème de groupements, le nombre de
  parts que l’on a trouvé s’appellele quotient ; légender
  : 9 → quotient.  

• Matériel : annexe 2 + cahier d'essais
• Lecture des consignes et éxécution individuelle des exercices dans le cahier d'essais
• Correction collective

En calcul mental, faire diviser par (a) un nombre inférieur ou égal à (a × 10), avec (a < 10).
Ex. : faire diviser par 6 un nombre inférieur ou égal à 60.
En calcul mental, énoncer des problèmes de groupements très simples, dans les tables de multiplicationou entre deux lignes de table (avec calcul
du reste).
Tirer au sort un nombre entre 2 et 99 et chercher toutes les façons de répartir équitablement la quantité entre plusieurs paquets sans qu’il y ait de reste. Puisqu’il faut former plusieurs paquets, refuser la répartition dans un seul paquet, mais accepter la formation des paquets de 1, seule solution
possible pour les nombres premiers.

• Donner fiche annexe n°4

• Matériel : fiche annexe n°6
• Lecture des consignes et exécution inviduelle des tâches

• Matériel : annexe 1
•  Au préalable : former un lot de 32 objets
  (graines, pâtes…).
•  Lire collectivement la situation de recherche et demander aux élèves de récapituler ce que l’on connaît : On a une quantité totalede 32 graines qu’on veut partager entre 6 élèves.
• Questionner : Combien de graines sont nécessaires pour que chacun ait une graine ? → 1 × 6 = 6 ; il faut donc 6 graines. Poser la même question pour deux graines. Remarquer qu’à chaque fois qu’on donne une graine supplémentaire, pour que la distribution soit équitable, il faut prévoir 6 graines.
• Lire collectivement les questions. Laisser les élèves chercher les réponses individuellement pendant cinq minutes et leur demander d’écrire les calculs qui justifient leurs réponses.

Regrouper les élèves qui ont besoin d’une recherche avec le matériel. Pour la réponse à la dernière question, faire dessiner sur une affiche les 6 élèves et coller sous chacun les 5 graines ; écrire en dessous « 5 × 6 ». Faire coller les deux graines qui
restent sur le côté et légender « reste ». Écrire en dessous du schéma « 32 = (… × …) + … ».
Faire compléter l’égalité par les élèves : « 32 = (5 × 6) + 2 ».

•  Mise en commun : pour la 1re question, demander à un élève de formuler sa proposition : expliciter qu’il s’agit de donner trois graines à chacun des six élèves et que cela correspond à 6 fois la quantité 3. Formaliser : 3 × 6 = 18 → Il faut 18 graines pour que chacun des 6 élèves en ait 3. 32 – 18 = 14. À cette étape, il restera 14 graines.
• Pour la 2e question, faire de même et conclure : 4 × 6 = 24 → Le maître a assez de graines pour en donner 4 à chacun des 6 élèves.
• 5 × 6 = 30 → Le maître a assez de graines pour en donner 5 à chacun des 6 élèves.
• 6 × 6 = 36 → Le maître n’a pas assez de graines pour en donner 6 à chacun des 6 élèves.
• Pour la 3e question, se servir des trois conclusions précédentes. Conclure que le maître peut donner 5 graines au maximum et le justifier en expliquant que dans la table de multiplication par 5, le produit inférieur le plus proche est « 5 × 6 = 30 ». Demander d’écrire sur l’ardoise le nombre de graines restantes. Faire présenter l’affiche réalisée en groupe. Lire l’égalité et légender : « 2 → reste ». Verbaliser l’égalité écrite : En 32, il y a 6 fois la quantité 5, et il reste 2. On peut donner 5 graines au maximum aux 6 élèves et il en reste 2. Expliquer que dans un problème de partage la quantité dans chaque part que l’on a trouvée s’appelle le quotient ; légender : « 5 → quotient ».

• Matériel : Annexe 2
• Lecture collective des consignes et exécution des tâches dans le cahier d'essais
• Correction collective

En calcul mental, faire diviser par (a) un nombre inférieur ou égal à (a x 10), avec (a < 10). Ex. : faire diviser par 6 un nombre inférieur ou égal à 60.
En calcul mental, faire résoudre des problèmes de partage très simples, dans les tables de multiplication ou entre deux lignes de table (avec calcul du reste).
Tirer au sort un nombre entre 2 et 99 et chercher la quantité dans chaque part si on le partage en 2, 3, 4, etc.
Faire rechercher le résultat de partages et le vérifier par la manipulation.

• Matériel : Fiche annexe n°4

• Matériel : annexe 6
• Lecture collective des consignes puis exécution individuelle des exercices
• correction collective

• Matériel : annexe 2
• Lecture collective des consignes et exécution individuelle des exercices
• Correction collective

• Distribuer des cartes à jouer et écrire la division correspondante en faisant varier le nombre de joueurs ou le nombre de cartes à distribuer.
  Énoncer des situations de partage et demander aux élèves de les traduire sous forme de divisions.
  Donner des divisions et demander de les écrire sous la forme D = (q × d) + r.
  Ex. : 14 : 4 → (3 × 4) + 2
  Inversement, énoncer une relation du type D = (q × d) + r et demander de chercher une division correspondante.
  Attention : une relation de ce type peut aboutir à une division, deux divisions ou aucune.
  Ex. : 14 = (3 × 4) + 2 → 2 divisions possibles : 14 : 3 et 14 : 4 (ces deux divisions donnent le même reste).
  23 = (3 × 6) + 5 → une seule division possible : 23 : 6 (la division 23 : 3 ne donne pas un quotient égal à 6 et un reste égal à 5).
  17 = (3 × 4) + 5 → aucune division car le reste (5) est supérieur à 3 et à 4.
• Donner la fiche annexe n°4

• Matériel : fiche annexe n°6
• Lecture des consignes et exécution individuelle du travail
• Correction collective

• Matériel : annexe 1
• Au préalable : préparer un carton et dix-huit sachets de dix graines par groupe de six élèves.
• Lire collectivement la situation de recherche. Remarquer qu’il y a une boîte de 100 caramels dans l’illustration. Questionner :
  Comment sont rangés ces 100 caramels dans la boîte ? → Ils ne sont pas en vrac mais dans des sachets de 10. Combien de sachets de 10 une boîte de 100 caramels contient-elle ? Former des groupes de six élèves et leur donner une boîte en carton à remplir de 10 sachets de 10 objets. Cette étape est essentielle pour ceux qui n’arrivent pas à se représenter la situation.
•  Lire la 1re question et questionner : Comment peut-on partager équitablement la boîte ? Expliciter qu’on a une seule boîte et que, donc, elle ne peut être partagée en l’état. Mettre en commun les
  réponses. → On sort les 10 sachets de 10 de la boîte de 100. Demander si ce sont les seuls sachets de 10 à partager. Faire regrouper les sachets de la boîte avec les 8 autres sachets de 10.
• Lire la 2e question : Combien de sachets de 10 devront-ils se partager au total ? → 18 sachets à partager en 6.
• Pour la 3e question, après quelques instants de recherche par groupe, demander : Combien de caramels les 6 enfants doivent-ils se partager au total ? Mettre en évidence qu’on peut le déterminer soit à partir de la répartition de départ (1 boîte de 100 et 8 sachets de 10), soit à partir des 18 sachets de 10 que l’on vient d’obtenir en ouvrant la boîte.
  Écrire au tableau le nombre 180. Faire réexpliciter que le 1 de 180 correspond à la boîte de 100 caramels du départ et que le 8 des dizaines correspond au nombre de sachets de 10 du départ. Rappeler aussi que le 18 est le nombre de dizaines et qu’il correspond au nombre de sachets de 10 que l’on a obtenus.
  Mettre en commun les réponses à la 3e question et conclure que l’on peut donner 3 sachets de 10 à chaque enfant. Questionner : À combien de caramels cela correspond-il ? → À 30 caramels par enfant.
•  Expliquer que si l’on avait posé la division dans une potence, on aurait suivi le même processus : Puisqu’il n’y a pas assez de centaines, je sors les dizaines qu’elle contient et je les mets avec les autres dizaines du nombre.
  Effectuer la division en faisant le lien avec les étapes de la situation de recherche : Je partage les centaines, c’est-à-dire la boîte de 100 ; il n’y a pas assez d’une boîte de 100 pour partager en 6 sans l’ouvrir. Je l’ouvre, je sors les dizaines et je les mets avec les autres dizaines, c’est-à-dire les 8 sachets de 10 du départ. Je partage les dizaines, etc.

• Matériel : annexe 2
• Lecture collective des consignes et exécution individuelle des exercices
• correction collective

Constituer des groupes homogènes et proposer un concours de divisions.
En rituel, chaque matin, faire effectuer une division pendant une période donnée en chronométrant le temps mis pour la faire.
Faire des entraînements systématiques pour formuler la division sous la forme : D = (d × q) + r.
Organiser la classe en deux groupes : l’un effectue les divisions, l’autre les vérifie. Échanger les rôles.

• Matériel : annexe 4

Proposer une fiche d'exercices

• Proposer chaque matin des divisions