Prenez vos distances (décimaux ERMEL)

Discipline
Nombres et calculs
Niveaux
CM2.
Auteur
E. BOURGEOIS
Objectif
- Comprendre que l'on peut utiliser l'addition et la soustraction pour trouver les distances séparant 2 nombres décimaux, mais aussi à trouver le ou les nombres séparés d'un autre par une distance donnée.
- Réinstaller le principe de l'addition et de la soustraction sur les nombres décimaux.
Relation avec les programmes

Cycle 3 - Programme 2020

  • Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux.
  • Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul.
  • Repérer et placer un nombre décimal sur une demi-droite graduée adaptée.
  • Apprendre les algorithmes : - de l'addition et de la soustraction de deux nombres décimaux - de la multiplication d'un nombre décimal par un nombre entier - de la division euclidienne de deux nombres entiers (quotient décimal ou non. Par exemple, 10 : 4 ou 10 : 3) - de la division d'un nombre décimal par un nombre entier.
Dates
Créée le 23 avril 2021
Modifiée le 23 avril 2021
Statistiques
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Licence
CC-BY-NC-SALicence Creative Commons : Paternité - Pas d'utilisation commerciale - Partage des conditions initiales à l'identique ?.

Les enfants vont devoir trouver le ou les nombres situés à une distance donnée d'un nombre de départ, ou trouver la distance qui sépare 2 nombres de départ.
Les recherches se font sans matériel, mais il est possible d'utiliser des droites graduées pour les élèves en difficultés ou pour l'auto-correction.

PRE-REQUIS: - Savoir placer un nombre décimal sur la bande graduée en dixièmes, puis en dixième, centièmes.
- Savoir décomposer un nombre décimal à l'aide des fractions décimales.

CRITERES DE REUSSITE: Trouver les distances entre deux nombres, ou les nombres séparés d'une distance, avec des rangs différents (2,3 et 3,45 ou 5,67 et 1, 908 par exemple) dans 3 cas sur 5 (CF activités d'auto-évaluation).

Déroulement des séances

1

Séance 0: niveaux de performance

Dernière mise à jour le 23 avril 2021
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
- Tableau des différents niveaux de maîtrise au départ, en cour ou à la fin de la séquence.
Durée
1 minutes (1 phase)
Informations théoriques
PRE-REQUIS: - Savoir placer les nombres décimaux sur une droite graduée jusqu'aux centièmes.
- Savoir décomposer un nombre à l'aide de fractions décimales.
Remarques
CRITERE DE REUSSITE: - Trouver dans 3 cas sur 5 la distance séparant deux nombres décimaux, avec des nombres de rangs différents (exemple: 7, 45 et 8, 5,131 et 9,12...).
- Poser correctement une addition et une soustraction de deux décimaux (aligner les unités entières), dans 5 cas sur 5.

1. tableau de niveaux de performance

collectif | 1 min. | découverte
Niveaux de performances1°) Elèves en difficultés2°) Elèves ayant besoin d'aide (matérielle ou humaine)3°) Elèves pouvant mobiliser des connaissances et compétences seuls, et résoudre globalement le problème seuls4°) Elèves autonomes n'ayant recours à aucune stratégie d'aide (schématisation mentale...)
Décomposer un nombre décimal et comprendre le fonctionnement de position- Pré-requis non automatisés: utilise le matériel pour placer 1, ensuite 0,6, puis 0,03. - Sait sortir la partie décimale et la transformer en fraction décimale en s'aidant de la droite graduée: 1,63 a pour partie décimale 63/100, (placement du nombre sur la droite graduée pour trouver la fraction décimale).

- Décompose un nombre décimal en addition d'entier et de fractions décimales: 1,63=1+63/100.

- Décompose un nombre décimal en addition d'entier et de fractions décimales, mais sait résoudre le problème sans: 1,63=1+63/100.

Résoudre un problème relevant de la recherche d'un écart.- Utilise le matériel pour compléter à l'unité 0,63 pour aller à 1 (comptage des parties manquantes), et faire de même jusqu'au bout de la recherche. Pas de mobilisation des calculs des différentes étapes.- Utilise un schéma, et la droite graduée pour trouver les compléments à l'unité, et résoudre le problème avec cette technique.- Utilise des compléments à l'unité en ayant recours à la fraction décimale et à la technique des compléments: 1,63 pour aller à 8,2: 1,63 pour aller à 2 (63/100 pour aller à 100/100): 37/100, puis 2 pour aller à 8: 6, puis 8 pour aller à 8,2: 20/100.- Utilise des compléments à l'unité sans avoir recours à la fraction décimale: de 1,63 pour aller à 2, il manque 0,37.
Poser l'opération des décimaux- Aligne les nombres en partant de la gauche sans utiliser la partie entière, et la virgule.- Aligne les nombres avec le schéma de l'opération et le tableau de numération.- Aligne les nombres correctement en les transformant pour avoir le même rang. 6,1=6,10.

- Aligne correctement les nombres décimaux pour réaliser son opération.

6,1-4,75 :

  6 , 1 0

- 4 , 7 5

____________

 

2

Découverte: trouvez le nombre distancié

Dernière mise à jour le 23 avril 2021
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
- Trouver le ou les nombre(s), situés à une distance d'un nombre de départ.
Durée
46 minutes (5 phases)
Matériel
- Un grande bande graduée en dixième pour toutes les phases collectives au tableau.
- Une bande graduée en dixième pour les élèves de niveaux de performances 1 et 2.
Informations théoriques
Déroulement: Une graduation est affichée au tableau, le maître y fait placer le nombre de départ et demande de chercher située à une distance donnée.
Après un temps de réflexion court, les nombres sont mis en commun au tableau et les justifications et échanges entre élèves se font collectivement. Cela permet de vérifier la compréhension de la consigne et de montrer qu'il y a 2 nombres qui répondent à cette consigne.
Les enfants travaillent ensuite individuellement. Chaque phase de recherche est ponctuée d'une phase de mise en commun, avec explicitation des procédures à l'aide d'un schéma ou de la bande graduée pour permettre aux élèves en difficultés de suivre. Les élèves de niveau 4 peuvent être tuteurs du niveau 1 s'ils ont suffisamment bien compris l'exercice.
Remarques
Procédures attendues:
- Niveau 1 et 2: Déplacement mental sur la graduation ou déplacement effectif sur un schéma.
- Niveau 3: calcul réfléchi: utilisation de la décomposition de la fraction. L'addition se fait mentalement par compléments.
- Niveau 4: Utilisation experte de l'addition ou de la soustraction posée.

1. Trouver les nombres situés à 4 unités de 7,2, puis les nombres situés à 2,6 unités de 4.

collectif | 5 min. | découverte

Afficher la bande graduée au tableau et présenter l'activité: Trouver un nombre situé à une distance précise d'un nombre de départ. 1 minute

Un élève vient au tableau placer le nombre 3,7 sur la bande graduée collective. 1 minute

Trouver un nombre situé à 2 unités de 3,7: recherche individuelle.  1 minute

Les nombres sont recensés, et placés sur la droite graduée: 5,7 (le plus courant), et 1,7. 2 minutes

Cette phase et cette mise en commun permettent de vérifier la bonne compréhension de la consigne, de cibler les élèves de niveau 1 ayant besoin d'aide, et de préciser que 2 nombres peuvent répondre à la consigne.

2. Trouver les nombres situés à 4 unités de 7,2, puis à 2,6 unités de 4.

individuel | 15 min. | recherche

1 minute: Vous allez devoir réaliser le même travail que précédemment mais seuls: trouver les nombres situés à 4 unités en partant de 7,2. 

5 minutes: Recherche individuelle

 

Aide des élèves en difficultés au tableau ou au fond de la classe avec une bande graduée par élève puis une bande graduée collective.

Matériel: bande graduée en unités, dixièmes, schéma exemple de la situation 1.

Mobilisation de tuteurs pour le niveau de performance 2: Les tuteurs doivent reformuler la consigne, et aider à l'utilisation du matériel à disposition sans jamais donner de réponse. Ils redonnent l'ordre des choses à faire (1°) placer le nombre de départ sur la bande, 2°) Calculer le complément à l'unité entière, 3°) Réaliser des sauts du nombre d'unités demandées, 4°) ajouter sur la bande la partie décimale demandée, 5°) recommencer dans l'autre sens).

Réalisation avec le maître ou la maîtresse et le matériel pour le niveau de performance 1.

11,2 et 3,2

Certains enfants ne font aucune référence au calcul, ils se déplacent mentalement sur la graduation (ou physiquement pour els élèves ayant des difficultés). D'autres calculent déjà en ligne en utilisant la décomposition du nombre décimal.

 

1 minute: Idem avec les nombres situés à 2,6 unités de 4

5 minutes: Recherche

6,6 et 1,4

 

2x2 minutes: Mise en commun des résultats et procédures de chacun (donner quelques exemples de stratégies différentes), après chaque étape: Utiliser la bande graduée collective et un schéma pour les élèves de type visuel

3. Phase 3

collectif | 8 min. | recherche

1 minute: Même travail, mais cette fois-ci, vous devrez trouver les nombres situés à 6,9 unités du nombre 11,2.

5 minutes: Recherche individuelle

Aide des élèves en difficultés au tableau ou au fond de la classe avec une bande graduée par élève puis une bande graduée collective.

Matériel: bande graduée en unités, dixièmes, schéma exemple de la situation 1.

Mobilisation de tuteurs pour le niveau de performance 2: Les tuteurs doivent reformuler la consigne, et aider à l'utilisation du matériel à disposition sans jamais donner de réponse. Ils redonnent l'ordre des choses à faire (1°) placer le nombre de départ sur la bande, 2°) Calculer le complément à l'unité entière, 3°) Réaliser des sauts du nombre d'unités demandées, 4°) ajouter sur la bande la partie décimale demandée, 5°) Additionner le tout, 6°) recommencer dans l'autre sens).

Réalisation avec le maître ou la maîtresse et le matériel pour le niveau de performance 1.

18,1 et 5,7

Procédures attendues:

- Déplacement physique ou mental sur la graduation, ou déplacement physique sur un schéma.

- Calcul réfléchi en utilisant les décompositions en fractions décimales: On ajoute 6,9 en le décomposant en 6 + 9/10 ou en 7 - 1/10.

- utilisation experte des opérations posées en colonnes, mais qui peut se justifier à l'ensemble de la classe à l'aide des décompositions.

4. Trouver les nombres situés à 73,47 de 100

individuel | 8 min. | recherche

1 minute: Même travail mais vous devrez trouver les nombres situés à 73,47 unités de 100. 

5 minutes: Recherche individuelle

Aide des élèves en difficultés au tableau ou au fond de la classe avec une ardoise pour réaliser le schéma des compléments.

Matériel: bande graduée en unités, dixièmes, centièmes schéma exemple de la situation 1.

Utilisation du matériel dixièmes centièmes (bandes avec parties repliables) pour les élèves fragiles.

Pour les élèves experts: cette phase n'est pas réalisée, ils font directement la suivante ou un jeu de calcul mental vitesse sur ces procédures: 25 calculs partant de 10, de 100, de mille et ajouter et enlever des nombres décimaux.

Réalisation avec le maître ou la maîtresse et le matériel pour le niveau de performance 1.

2 minutes: Bilan collectif avec explicitation des procédures de quelques enfants.

173,47 et 26,53

Si la construction du sens de la soustraction ou le passage fractions décimales / décimaux, n'est pas automatisé, nous pouvons trouver 27,53 avec la procédure suivante: 100-73=27, puis 100 (pour les centièmes)-47=53, enfin, juxtaposition des 2 résultats: 27 et 0,53. Dans ces cas-là, le point collectif permet de revenir sur la retenue.

5. Trouver la distance séparant 2,7 et 5,9

individuel | 10 min. | mise en commun / institutionnalisation

1 minute: Ici, il va falloir trouver la distance qui sépare les nombres 2,7 et 5,9.

5 minutes: Recherche individuelle

Aide des élèves en difficultés au tableau ou au fond de la classe avec une ardoise pour réaliser le schéma des compléments.

Matériel: bande graduée en unités, dixièmes, centièmes schéma exemple de la situation 1.

Utilisation du matériel dixièmes centièmes (bandes avec parties repliables) pour les élèves fragiles.

Réalisation avec le maître ou la maîtresse et le matériel pour le niveau de performance 1.

2 minutes: Bilan collectif avec explicitation des procédures de quelques enfants.

3,2

Procédures attendues: Niveau 1, 2, et quelques 3: utilisation du schéma, ou/et de la bande graduée.

Niveau 4 et quelques 3: Calcul en utilisant l'opération posée.

3

Prenez vos distances 2: remobilisation et construction de la leçon

Dernière mise à jour le 23 avril 2021
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Installer ou réinstaller les différents modes de calcul de sommes et de différences des décimaux.
Durée
50 minutes (8 phases)

1. Mobilisation rapide des compétences utilisant un entier et une distance décimale

collectif | 5 min. | réinvestissement

Trouver les nombres situés à 3 unités de 8,6

Trouver les nombres situés à 5,8 unités de 5

Trouver les nombres situés à 7 unités de 4,13

Trouver les nombres situés à 8,87 unités de 3

Travail à l'ardoise ou avec un timer pour mobiliser les procédures rapidement.

Donner les opérations à faire, valider ou invalider les réponses, guider les élèves en difficultés, apporter des feedbacks.

Utilisation d'une bande graduée avec dixièmes et centièmes repliables.

Tutorat pour les élèves ayant des procédures expertes, qui aideront les élèves fragiles, ou, s'il n'y a pas besoin, les élèves experts réalisent des opérations directement ou des jeux type mathéro ou logicieleducatif.

2. Trouver les nombres mobilisant 2 décimaux.

collectif | 5 min. | réinvestissement

Trouver les nombres situés à 7,8 unités de 10,3.

Trouver les nombres situés à 8,4 unités de 5,9.

Trouver les nombres situés à 8/10 de 5,2.

Trouver les nombres situés à 2,1 unités de 4,45.

Trouver les nombres situés à 6,2 unités de 4,75.

Travail rapide sur l'ardoise.

Interroger, valider ou invalider les réponses, apporter des feedbacks.

Utilisation d'une bande graduée avec dixièmes et centièmes repliables.

Dans ces nombres, il y a plusieurs difficultés qui peuvent gêner certains élèves. Ne pas hésiter à adapter les nombres en fonction des niveaux. (nombre de rangs différents entre 2 nombres, utilisation des fractions décimales, changement d'unités...)

3. Trouver la distance séparant 2 nombres décimaux

individuel | 5 min. | réinvestissement

1 minute: Trouver la distance séparant 3,3 et 6, 7.

Trouver la distance séparant 4,6 et 7,2.

3 minutes: Recherche individuelle

2 minutes: Mise en commun: dire son résultat et expliquer sa méthode.

Aide des élèves en difficultés, interroger les élèves sur leurs procédures, valider ou invalider les réponses.

Bandes graduées avec dixièmes et centièmes repliables.

4. Trouver la distance séparant 2 nombres décimaux n'ayant pas le même rang sur la partie décimale

individuel | 8 min. | découverte

1 minute: Trouver la distance séparant 1,63 à 8,2.

5 minutes: Recherche individuelle

Libre (avec les CM1 dans mon cas).

Utilisation du matériel de numération et bande graduée avec dixièmes, et centièmes repliables.

Bilan collectif: quelques élèves viennent au tableau expliquer leur procédure. Mise en place du tableau de numération pour aider à poser des additions et des soustractions.

5. Trouver la distance séparant 2 nombres décimaux

individuel | 8 min. | réinvestissement

Trouver la distance séparant 12,3 et 13.

Trouver la distance séparant 3,25 et 4.

Trouver la distance séparant 7,75 et 8.

Recherche et remplissage de leur fiche réponse.

Avec les CM1

Matériel (bande graduée).

6. Trouver des distances séparant 2 nombres décimaux

individuel | 8 min. | réinvestissement

1 minute: Trouver la distance séparant 2,3 et 4,2.

Trouver la distance séparant 6,78 et 9,6.

5 minutes: Recherche individuelle.

2 minutes: Bilan collectif

Bande graduée.

Eventuellement tutorat

opérations à poser et à résoudre pour le niveau expert.

7. Poser les opérations

individuel | 8 min. | découverte

Avec tout ce que vous avez fait depuis la séance dernière, vous savez maintenant mettre en place des procédures de calculs des décimaux. Nous allons réviser, ou apprendre pour certains, la technique opératoire des additions et soustractions des décimaux.

Posez et calculez les opérations suivantes: 3,8 + 1,5

                                                                         21,5 - 4,6

                                                                         L'écart entre 7,8 et 13,1

                                                                         2,3 + 0,75

                                                                         5,03 - 1,35

Pour cela, commencez par placer l'unité de la partie entière dans la colonne des unités, puis placez la virgule sur la trait de la colonne. Placez les autres nombres et réalisez votre opération normalement. N'oubliez pas de faire redescendre votre virgule au même endroit sur le résultat.

Travail individuel

Bilan et correction collective

Avec les CM1 ou aide des élèves en difficultés si besoin.

Utilisation du tableau de numération pour ne pas faire d'erreurs dans le placement des nombres.

Tutorat des élèves experts qui aident les élèves fragiles, ou autre activité pour les élève expert (mathéro, ceintures, learning apps).

8. Leçon

collectif | 3 min. | mise en commun / institutionnalisation

Copie ou distribution de la leçon

4

Jeu la course aux dixièmes IREM Lille

Dernière mise à jour le 23 avril 2021
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
- REPRESENTER: Produire et utiliser diverses représentations des nombres décimaux.
- CALCULER: Calculer avec les nombres décimaux, de manière exacte et approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées.
Durée
15 minutes (1 phase)
Matériel
Bande graduée repliable.
Des dés à faces modifiées selon les niveaux de jeu.
Une bande graduée collective.
Matériel d'échanges dixièmes, centièmes, unités.
Informations théoriques
Il s'agit d'une situation de calculs et d'échanges, pratiqués non plus avec une banque, mais avec une bande graduée, où l'on matérialise l'avancée de chaque joueur.
Remarques
C'est un jeu librement inspiré du jeu du banquier du cycle 2, présenté par l'IREM de Lille, et dont toutes les ressources se trouvent sur leur site, ainsi qu'une vidéo montrant l'évolution du jeu.

1. Jeu niveau 2

groupes de 6 | 15 min. | découverte

La découverte de ce jeu est faite au moment du travail sur les fractions décimales, et il s'agit ici de réaliser la phase 4 de celui-ci, adaptée avec les décimaux. 

Les dés sont identiques aux phases précédentes mais les résultats doivent être matérialisés par un nombre décimal:

MATERIEL:

1 dé normal à 6 faces

1 dé fraction décimale 3 faces marquées 1/10, 3 faces marquées 1/100 (possibilité de faire 2 faces de chaque seulement et d'ajouter 2 faces 1/1000 pour les experts qui n'auront plus recours à la bande graduée).

Une demi-droite graduée en dixièmes collective où chaque élève reporte son résultat.

Une bande individuelle, avec dixièmes et centièmes repliables.

Une fiche de saisie des scores pour garder en mémoire les centièmes et les millièmes si besoin.

Le plus jeune joueur commence.

Il lance les dés. Il obtient alors une nombre matérialisé sous forme de quantité (1 à 6) de dixièmes, centièmes, ou millièmes pour les experts.

Son score s'en trouve chaque fois augmenté d'autant.

Après chaque tirage, l'élève avance son pion aimanté (ou vient placer son initiale au velleda) sur la droite graduée collective. Cette droite n'est graduée qu'en unités et en dixièmes. Il ne peut donc avancer que lorsqu'il dépasse un dixième (s'il est en dessous, il peut garder ses scores en mémoire sur une ardoise ou la fiche de notation).

Le gagnant est celui qui arrive le plus loin au bout de 15 minutes.

Faire verbaliser l'élève et ses procédures de calcul, apporter des feedbacks ou des guides, aider à l'utilisation du matériel, veiller à la transposition en nombre décimal à chaque tour.

C'est un jeu qui se joue en atelier dirigé. Les autres élèves sont en autonomie sur d'autres ateliers.

5

Ateliers entraînement, consolidation, remédiation, auto-évaluation

Dernière mise à jour le 23 avril 2021
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
- mobiliser les compétences et les connaissances vues précédemment.
- S'entraîner et avancer à son rythme avec les ceintures.
- S'auto-évaluer pour savoir quelles notions ou procédures il reste à travailler.
- Ré-investir ses connaissances et compétences.
Durée
60 minutes (1 phase)
Informations théoriques
Ici, il s'agit d'ateliers tournants. Après une première semaine de découverte et de construction de la notion (séance 2 et 3), une deuxième semaine d'appropriation de la notion (séance 4 jeu IREM), les élèves réalisent différents ateliers dont les notions s'étalent. Pour celle-ci: en semaine 2 (la même que l'appropriation du jeu), ils s'entraînent sur une fiche d'exercice reprenant les mêmes procédures qu'en S1.
en semaine 3, ils s'auto-évaluent en réalisant 5 exercices d'un manuel sur ce thème dans le cahier du jour. Selon leurs résultats, ils pourront ensuite choisir des activités différentes en semaine 4.
en semaine 4: ils remobilisent la notion avec une activité guidée par le maître, de niveaux adaptés à chaque groupe, et choisissent un parcours adapté selon les réussites (séance 6).
Remarques
Pour les ceintures, elles sont évolutives selon le rythme et l'avancée de chacun pour toute la période. Des exercices de ceintures sur ce thème sont prévus mais sont réalisés à différents moment dans la période selon les enfants.

1. Ateliers tournants

collectif | 60 min. | entraînement
Atelier 1 15 minutesAtelier 2 15 minutesAtelier 3 15 minutesAtelier 4 guidé 15 minutes
- Entraînement semaine 2- Ceintures: avancée au rythme de chacun. 3 exercices sur 20 sont prévus sur ce thème.

- Evaluation positive

Semaine 3

- réinvestissement

Semaine 4

Réaliser la fiche d'entraînement

Avancer sa ceinture

Exercice 1: questions sur les mêmes procédures que la séance découverte nombres selon les niveaux de performance.

Exercice 2: Questions mobilisant des nombres décimaux n'ayant pas le même rang de partie décimale Selon les niveaux

Exercice 3: opérations (5 additions, 5 soustractions) portant sur toutes les difficultés des nombres décimaux selon les niveaux.

Réalisation des exercices du manuel dans le cahier du jour.

- Si tous les exercices sont réussis, les compétences sont validées sur l'éval'toise. Les élèves pourront alors choisir librement un jeu portant sur cette compétence s'ils veulent quand même, ou sur une autre compétence. Si tout est validé, ils peuvent devenir tuteur pour cette notion.

- Si des compétences sont à retravailler, l'élève choisis sur quelle procédure il souhaite travailler avec un tuteur ou l'enseignant, et s'inscrit sur le bon jeu.

Lancez le dé et avancer du côté que vous voulez sur le plateau.

Répondez à la questions selon la couleur de la case. Vous gagnez alors un jeton.

Le gagnant sera celui ayant 2 jetons de chaque couleur.

Jouer et répondre aux questions.

 

Guider

 

Utilisation du matériel des séances précédentes.

6

Remédiation

Dernière mise à jour le 23 avril 2021
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
Consolider les acquis et remédier à certaines difficultés.
Durée
30 minutes (1 phase)
Matériel
Jeux des séances 4 et 5
Défi opérations
selon compétences à travailler

1. Jeux de remédiation guidé

groupes de 6 | 30 min. | remédiation
Difficultés dans la décomposition de la partie décimale en fraction décimale et dans les compléments à l'unitéDifficultés dans la stratégie de calcul (problème de sens des opération et erreurs dans les procédures schématisées de la séance 1 et 2).Difficultés dans la pose et le calcul avec des décimaux
Jeu de l'IREM de Lille guidéJeu de plateau: les 3 petits cochonsDéfi calculs code secret

Les élèves experts sont tuteurs d'un groupe s'ils sont d'accord et s'ils en ont envie.

Sinon, ils réalisent une fiche d'entraînement basée sur un niveau 6ème pris dans un manuel de mathématiques de ce niveau, adaptée à leurs compétences et sous forme de défi, rallye en binôme (à condition d'avoir plus d'un élève expert).

L'enseignant tourne de groupe en groupe et reste dans chaque groupe au moins 10 minutes fractionnées.