Numérique et symétrie axiale

Discipline
Espace et géométrie
Niveaux
CE2, CM1, CM2, 6ème.
Auteur
K. LÉONARD
Objectif
Utiliser les outils numériques pour favoriser les situations d'enseignement / apprentissage :
Le vidéo-projecteur pour montrer un contenu à la classe.
Le visualiseur pour filmer des manipulations d'objets ou sur la feuille (papier/crayon)
le logiciel Openboard pour permettre l'interactivité au sein du groupe
La souris sans fil pour permettre à chacun d'interagir avec les contenus projetés depuis sa place
Le logiciel géogebra pour travailler dans l'espace abstrait.
Relation avec les programmes

Cycle 3 - Programme 2020

  • Compléter une figure par symétrie axiale.
  • Construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite par rapport à un axe donné.
  • Construire la figure symétrique d'une figure donnée par rapport à un axe donné : - figure symétrique, axe de symétrie d’une figure, figures symétriques par rapport à un axe ; - propriétés de conservation de la symétrie axiale ; - médiatrice d’un segment : définition (droite perpendiculaire au segment en son milieu) et caractérisation (ensemble des points équidistants des extrémités du segment).
Dates
Créée le 18 novembre 2018
Modifiée le 07 février 2019
Statistiques
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Licence
CC-BY-NC-SALicence Creative Commons : Paternité - Pas d'utilisation commerciale - Partage des conditions initiales à l'identique ?.

L'objectif est de montrer les potentialités des outils numériques (logiciels et matériels) pour enseigner et apprendre. La séquence concerne la symétrie axiale au CM1 et CM2 ( utilisable en CE2 et en 6ème). Le parti pris didactique est d'étayer le passage d'une géométrie dans l'espace sensible avec des objets concrets pour passer ensuite dans l'espace graphique (papier/ crayon) pour arriver enfin à l'espace abstrait où l'on manipule des objets idéalisés au regard de leurs propriétés.

Déroulement des séances

1

Manipulons des objets concrets!

Dernière mise à jour le 07 février 2019
Discipline / domaine
Espace et géométrie
Objectif
-percevoir 4 propriétés de la symétrie axiale :
- conservation des tailles
- conservation des formes
- conservation de la distance à l'axe de symétrie
- perpendicularité par rapport à l'axe de symétrie
Durée
45 minutes (8 phases)
Matériel
matériel numérique :
-un vidéoprojecteur simple (ou tbi, ou VPI)
- un visualiseur (ou webcam sur pied)
- logiciel de tableau interactif Openboard
- logiciel de webcam

Matériel non numérique :
-feuille A3 sur laquelle est tracé un axe oblique
-pièces de tangram (1 jeu par élève)
-cahier ou classeur dans lequel conserver la trace de la synthèse
Informations théoriques
Selon le cadre proposé par Houdement et Kuzniak, l'activité se situe en géométrie I (espace sensible) les types de tâches concernés sont l'intuition et l'expérimentation.
Remarques
Le fait de manipuler des pièces concrètes permet de faciliter la tâche concernant la conservation des tailles et des formes.

Amener les élèves à percevoir l'effet de retournement en réalisant concrètement l'action de retournement des pièces. Il s'agit de mettre en évidence la différence entre la symétrie et la translation.

1. Réactivation des connaissances

collectif | 5 min. | recherche

Projection en collectif des exercices en ligne : http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/symetrie/CM2/quadrillages.htm

D'abord axe vertical, puis horizontal puis oblique (si suffisamment de temps)

Il s'agit de permettre à chacun de se remémorer ce qu'est la symétrie axiale. Les élèves les moins à l'aise sont invités à réaliser la tâche pour faire émerger un questionnement au niveau du groupe classe. La construction de la réponse collective se fait par l'échange entre pairs. L'usage d'une souris sans fil permet à chacun d'agir depuis sa place. Cela améliore la fluidité des interactions.

 

2. Situation 1

individuel | 3 min. | recherche

présenter une pièce de tangram dont un côté est sur l'axe de symétrie et demander aux élèves  :

-de reproduire cette configuration

- de placer la pièce symétrique par rapport à l'axe.

3. Situation 1 bis

collectif | 6 min. | mise en commun / institutionnalisation

Demander à un élève qui n'a pas réussit de venir montrer ce qu'il a fait.

Permettre au reste du groupe d'expliquer comment il aurait fallu placer la pièce.

Cette situation de tutorat entre pairs doit permettre :

- pour ceux qui expliquent de verbaliser la stratégie la plus opérante

- pour  ceux qui ont des difficultés d'être valorisé en ce qu'il permettent au groupe d'avancer (statut de l'erreur comme moteur des apprentissages).

NB : les situations sont réalisées sous le visualiseur et projetées. Le logiciel Openboard permet la capture d'images et l'annotation. Les élèves utilisent la souris sans fil pour interagir. Il n'y a pas de déplacements autres que celui de l'élève qui manipule sous le visualiseur.

4. Situation 2

individuel | 3 min. | recherche

présenter une pièce de tangram dont un côté est parallèle à l'axe mais à une certaine distance et demander aux élèves  :

-de reproduire cette configuration

- de placer la pièce symétrique par rapport à l'axe.

5. Situation 2 bis

collectif | 6 min. | mise en commun / institutionnalisation

Demander à un élève qui n'a pas réussit de venir montrer ce qu'il a fait.

Permettre au reste du groupe d'expliquer comment il aurait fallu placer la pièce.

Cette situation de tutorat entre pairs doit permettre :

- pour ceux qui expliquent de verbaliser la stratégie la plus opérante

- pour  ceux qui ont des difficultés d'être valorisé en ce qu'il permettent au groupe d'avancer (statut de l'erreur comme moteur des apprentissages).

NB : les situations sont réalisées sous le visualiseur et projetées. Le logiciel Openboard permet la capture d'images et l'annotation. Les élèves utilisent la souris sans fil pour interagir. Il n'y a pas de déplacements autres que celui de l'élève qui manipule sous le visualiseur.

6. Situation 3

individuel | 3 min. | recherche

présenter une pièce de tangram dont aucun côté n'est parallèle à l'axe de symétrie et demander aux élèves  :

-de reproduire cette configuration

- de placer la pièce symétrique par rapport à l'axe.

7. Situation 3 bis

collectif | 6 min. | mise en commun / institutionnalisation

Demander à un élève qui n'a pas réussit de venir montrer ce qu'il a fait.

Permettre au reste du groupe d'expliquer comment il aurait fallu placer la pièce.

Cette situation de tutorat entre pairs doit permettre :

- pour ceux qui expliquent de verbaliser la stratégie la plus opérante

- pour  ceux qui ont des difficultés d'être valorisé en ce qu'il permettent au groupe d'avancer (statut de l'erreur comme moteur des apprentissages).

NB : les situations sont réalisées sous le visualiseur et projetées. Le logiciel Openboard permet la capture d'images et l'annotation. Les élèves utilisent la souris sans fil pour interagir. Il n'y a pas de déplacements autres que celui de l'élève qui manipule sous le visualiseur.

8. Synthèse

collectif | 13 min. | mise en commun / institutionnalisation

A partir d'images tirées des phases de mise en commun ou à partir d'images construites avec Openboard montrer des situations pour lesquelles :

- la conservation des tailles n'est pas respectée

- la conservation des formes n'est pas respectée

- la conservation de la perpendicularité à l'axe n'est pas respectée

- la conservation de la distance (au sens de la longueur) n'est pas respectée.

Créer l'interactivité "associer des images" et ajouter le texte "leçon" comme synthèse de la séance

2

Des logiciels pour travailler sur papier!

Dernière mise à jour le 18 décembre 2018
Discipline / domaine
Espace et géométrie
Objectif
- tracer le symétrique d'une figure par rapport à un axe en faisant varier :
-le type de quadrillage
-l'orientation de l'axe
- la position de la figure par rapport à l'axe
- la complexité de la figure
- passer d'une représentation globale de la figure à une représentation de la figure comme composée de points (sommets) dont il faut placer les symétriques.
Durée
45 minutes (8 phases)
Matériel
matériel numérique :
-un vidéoprojecteur simple (ou tbi, ou VPI)
- un visualiseur (ou webcam sur pied)
- logiciel de tableau interactif Openboard
- logiciel de webcam
_ logiciel géogebra (géométrie dynamique)

Matériel non numérique :
-feuille séance 2 Cf fichier joint
-crayon, règle graduée, équerre, compas (éventuellement)
Informations théoriques
Selon le cadre proposé par Houdement et Kuzniak, l'activité se situe en géométrie II (espace graphique) les types de tâches concernés lors de la séance sont l'expérimentation et le raisonnement.
Remarques
Le fait de passer de l'espace graphique (papier/crayon) vers l'espace abstrait (géogebra) représente une difficulté. Il s'agit de permettre à l'élève de passer d'une représentation procédurale ("je compte les carreaux pour trouver le symétrique") à une représentation abstraite où l'on identifie le symétrique d'un point par rapport à ses propriétés (perpendicularité, report de longueur) par rapport à l'axe de symétrie.

1. Réactivation des connaissances

collectif | 5 min. | réinvestissement

1) Rappel des propriétés de la symétrie en montrant deux figures symétriques par rapport à un axe (Cf fichier Openboard) puis en modifiant :

- la taille de la figure symétrique

- la forme de la figure symétrique

- la distance de la figure symétrique par rapport à l'axe

- la perpendicularité de la figure par rapport à l'axe

L'objectif est de montrer ostensiblement les pièges à éviter.

2) Utiliser "l'interactivité" créée lors de la synthèse de la séance précédente pour faire jouer les élèves. (On se passe la souris sans fil). Cf fichier Openboard.

2. quadrillage carré

individuel | 3 min. | recherche

Comment le quadrillage aide-t-il à respecter la distance (longueur et perpendicularité) à l'axe?

Demander aux élèves de tracer la figure symétrique sur le quadrillage carré. (Cf fichier pdf)

Identifier les élèves qui rencontrent des difficultés en distinguant :

-translation en non symétrie

- non conservation de la taille

- non conservation de la forme

- non conservation de la distance à l'axe

- non conservation de la perpendicularité

3. Tutorat entre pairs

collectif | 6 min. | mise en commun / institutionnalisation

Proposer aux élèves rencontrant des difficultés de montrer leurs représentations ( erronées) pour que le groupe puisse apporter des réponses (valoriser les élèves montrant leurs difficultés).

Il s'agit là de changer le statut de l'erreur en montrant que cela permet aux élèves qui réussissent la tâche de prendre plus de distance en expliquant comment ils procèdent. Cela aide naturellement les élèves qui rencontraient la même difficulté.

Utiliser le fichier : https://www.geogebra.org/classic/aaqtay2d

Demander aux élèves qui ont des difficultés de placer les points de la figure symétrique avec la souris sans fil.

Le passage du support papier vers l'espace du logiciel permet de lever certaines difficultés manipulatoire et focalise l'attention sur  :

  • la décomposition de la figure en points (sommets)
  • la distance (longueur) à l'axe du point symétrique
  • la perpendicularité par rapport à l'axe

NB :

-les points sont aimantés à la grille

- affichage du quadrillage principal

4. quadrillage triangulaire

individuel | 3 min. | recherche

Comment le quadrillage aide-t-il à respecter la distance (longueur et perpendicularité) à l'axe?

Demander aux élèves de tracer la figure symétrique sur le quadrillage triangulaire. (Cf fichier pdf)

Identifier les élèves qui rencontrent des difficultés en distinguant :

-translation en non symétrie

- non conservation de la taille

- non conservation de la forme

- non conservation de la distance à l'axe

- non conservation de la perpendicularité

Les stratégies consistant à reproduire la figure par rapport à sa forme globale sont plus difficiles que sur quadrillage carré. Il devient nécessaire de considérer la figure comme un ensemble de points (sommets) dont il faut placer les symétriques.

NB : en fonction des difficultés des élèves, on pourra faire seulement la première figure ou les deux.

5. tutorat entre pairs

collectif | 6 min. | mise en commun / institutionnalisation
  • Proposer aux élèves rencontrant des difficultés de montrer leur travail sur feuille ( via le visualiseur) pour que le groupe puisse apporter des réponses (tutorat entre pairs).

Il s'agit là de changer le statut de l'erreur en montrant que cela permet aux élèves qui réussissent la tâche de prendre plus de distance en expliquant comment ils procèdent.

  • Utiliser le fichier : https://www.geogebra.org/classic/shhhggwp

Demander aux élèves qui ont des difficultés de placer les points de la figure symétrique avec la souris sans fil.

Le quadrillage induit un déplacement en suivant les lignes qui ne sont pas perpendiculaires à l'axe. C'est l'occasion d'insister sur la nécessité de placer les points symétriques selon une orientation perpendiculaire.

NB :

-les points sont aimantés à la grille

 

6. Plus de quadrillage mais des lignes soit perpendiculaires, soit parallèles à l'axe

individuel | 3 min. | recherche

Comment les lignes parallèles ou perpendiculaires à l'axe guident la construction d'une figure symétrique?

Demander aux élèves de tracer la figure symétrique avec des lignes perpendiculaires à l'axe. (Cf fichier pdf)

Identifier les élèves qui rencontrent des difficultés en distinguant :

-translation en non symétrie

- non conservation de la taille

- non conservation de la forme

- non conservation de la distance à l'axe

- non conservation de la perpendicularité

Avec des lignes perpendiculaires à l'axe, l'élève doit se concentrer sur le report des longueurs de chaque point de la figure par rapport à l'axe.

Avec des lignes parallèles à l'axe, l'élève doit se concentrer sur la perpendicularité . Il utilise les lignes pour identifier la longueur par rapport à l'axe.

Il n'est plus possible d'utiliser des stratégies de reproduction de la figure dans sa forme globale du fait de l'absence de quadrillage.

7. tutorat entre pairs

collectif | 6 min. | mise en commun / institutionnalisation

La mise en commun s'effectue en montrant les réalisations erronées via le visualiseur.

Prendre une photo de la production (outil capture d'openboard) et insérer l'image dans géogebra.

Utiliser les outils (perpendiculaire et cercle) de géogébra pour montrer les relations (perpendicularité et report des longueurs) entre un point et son symétrique par rapport à l'axe.

On veillera à utiliser le visualiseur pour montrer les procédures équerre (perpendicularité) ou report des longueurs (règle graduée ou compas) à réaliser par l'élève avec ses outils.

Faire des allers-retours entre ce que l'on voit travail avec les yeux dans l'espace graphique et ce que l'on sait travail par le raisonnement dans l'espace abstrait où les points sont représentés via le logiciel.

Montrer que lorsque l'on déplace un point son symétrique bouge aussi (C'est pour cela que l'on parle de géométrie dynamique).

 

8. Synthèse : une vidéo de moins d'une minute réalisée par un élève

collectif | 13 min. | mise en commun / institutionnalisation

Stratégie pour construire le symétrique d'une figure par rapport à un axe :

Filmer à l'aide du visualiseur la procédure permettant de tracer le symétrique d'une figure par rapport à un axe (sue la feuille avec les outils : crayon, règle graduée, équerre.

 

Pour l'élève la tâche consiste à :

  • identifier chaque point qui constitue la figure
  • construire le symétrique de chaque point par rapport à l'axe
    • tracer à l'équerre ou se servir du quadrillage pour identifier la droite perpendiculaire à l'axe passant par le point dont on construit le symétrique
    • mesurer à la règle ou reporter avec le compas la longueur entre le point et l'axe pour construire le point symétrique
3

Des logiciels pour travailler dans l'espace abstrait!

Dernière mise à jour le 18 décembre 2018
Discipline / domaine
Espace et géométrie
Objectif
- manipuler le logiciel géogebra
- Utiliser le logiciel pour construire le symétrique d'un triangle par rapport à un axe
- s'appuyer sur un raisonnement pour construire le symétrique (perpendicularité et égalité de longueurs)
Durée
45 minutes (4 phases)
Matériel
matériel numérique :
-un vidéoprojecteur simple (ou tbi, ou VPI)
- un visualiseur (ou webcam sur pied)
- logiciel de tableau interactif Openboard
- logiciel de webcam

Matériel non numérique :
-feuille A3 sur laquelle est tracé un axe oblique
-pièces de tangram (1 jeu par élève)
-cahier ou classeur dans lequel conserver la trace de la synthèse

1. Rappel des apprentissages des séances précédentes

collectif | 5 min. | mise en commun / institutionnalisation

Une figure est symétrique si lorsque l'on plie selon l'axe de symétrie les deux parties de la figure se superposent.

La symétrie conserve :

  • la taille
  • la forme
  • la perpendicularité
  • la distance à l'axe

 

 

2. Construire le symétrique d'un triangle par rapport à un axe (l'enseignant)

collectif | 6 min. | découverte

Pour construire le symétrique A' d'un point A, il faut :

  • tracer la droite (d) perpendiculaire à l'axe qui passe par le point A
  • (d) coupe l'axe de symétrie en un point O
  • tracer le cercle C(O,OA)
  • A' est à l'intersection de C(O, OA) et de (d)

Ce texte n'est pas assimilable par les élèves. La réalisation avec le logiciel géogebra projetée au tableau permet aux élèves de mémoriser la procédure.

Il n'est plus question de se soucier des manipulations de l'équerre et du compas en vue de réaliser un tracé. Il s'agit d'identifier les relations entre les points et l'axe de symétrie :

  • perpendicularité à l'axe
  • égalité des longueurs

Les points ne sont pas définis visuellement mais ils sont envisagés comme l'intersection de deux droites ou d'une droite et d'un cercle.

3. Construire le symétrique d'un triangle par rapport à un axe (l'élève)

collectif | 30 min. | découverte

Un élève qui a mémorisé la procédure vient montrer comment faire. Cela permet à tous de revoir la procédure.

Dès qu'il a terminé, il va réaliser la tâche avec une figure à 4 points seul sur un ordinateur.

On tourne ainsi jusqu'à ce que chaque élève soit capable de réaliser la figure.

L'enseignant régule la situation en fonction de l'attention des élèves.

Il s'agit d'alterner les phases où les élèves sont observateurs et les phases où ils répondent à des sollicitations de l'enseignant.

L'enjeu est de ne pas placer les élèves trop tôt sur l'ordinateur et d'avoir beaucoup de questions en même temps auxquelles l'enseignant ne pourra répondre. Un élève ne doit être seul à l'ordinateur que lorsqu'il a acaquis la procédure.

Au delà de la réalisation de cette construction, cette première séance exclusivement sur géogebra doit permettre de s'approprier le logiciel. Il s'agit de comprendre que l'on réfléchit aux propriétés (perpendicularité et égalité de longueurs) qui relient les éléments (points, segments, droites).

4. synthèse

collectif | 4 min. | mise en commun / institutionnalisation

En géométrie, on peut :

  • travailler avec les mains : on manipule des objets pour identifier une notion
  • travailler avec les yeux : on réalise des tracés précis sur un support papier avec les outils (règle, équerre, compas).
  • travailler avec la tête : on fait un raisonnement dans un espace abstrait grâce au logiciel
4

Evaluation

Dernière mise à jour le 25 novembre 2018
Discipline / domaine
Espace et géométrie
Objectif
- en cours de rédaction
Durée
45 minutes (3 phases)
Matériel
matériel numérique :
-un vidéoprojecteur simple (ou tbi, ou VPI)
- un visualiseur (ou webcam sur pied)
- logiciel de tableau interactif Openboard
- logiciel de webcam

Matériel non numérique :
-feuille A3 sur laquelle est tracé un axe oblique
-pièces de tangram (1 jeu par élève)
-cahier ou classeur dans lequel conserver la trace de la synthèse

1. Réactivation des connaissances

collectif | 5 min. | recherche

2. Réalisation des exercices

individuel | 30 min. | réinvestissement

3. Synthèse

collectif | 10 min. | mise en commun / institutionnalisation