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. Les identités remarquables
- Discipline / domaine
- Nombres et calculs
- Objectif
- Appliquer les identités remarquables en passant de la représentation algébrique à la représentation numérique.
- Avoir mémorisé ou automatisé l’identité a² – b² = (a – b)(a + b).
- Avoir mémorisé ou automatisé les formules de distributivité simple et double.
- Avoir mémorisé ou automatisé les conventions d’écritures du calcul littéral.
- Durée
- 68 minutes (4 phases)
- Matériel
- Cahier de leçon. Cahier d'exercice. Calculatrice collège. Trousse, règle.
- Informations théoriques
- Introduction
L’identité remarquable est un concept fondamental en mathématiques, particulièrement en algèbre. Ces identités sont des formules qui simplifient le calcul d’expressions algébriques complexes et jouent un rôle crucial dans la résolution de divers problèmes mathématiques. Cet article explore en profondeur les identités remarquables, leur importance, leurs applications, et des exemples détaillés pour illustrer leur utilisation.
I. Les Identités Remarquables Fondamentales
Les identités remarquables sont principalement au nombre de trois, chacune ayant des applications spécifiques. Ces identités permettent de factoriser et de développer les expressions algébriques avec facilité. Voici les trois identités remarquables de base :
1. Le carré d’une somme
La première identité remarquable concerne le carré d’une somme. Elle permet de développer une expression où deux termes sont additionnés puis mis au carré.
2. Le carré d’une différence
La deuxième identité remarquable s’applique au carré d’une différence. Elle est utilisée pour développer une expression où deux termes sont soustraits puis mis au carré.
3. Le produit d’une somme et d’une différence
La troisième identité remarquable traite du produit d’une somme et d’une différence. Elle permet de simplifier une expression où une somme de termes est multipliée par leur différence.
II. Applications des Identités Remarquables
Les identités remarquables trouvent des applications dans divers domaines des mathématiques et des sciences. Elles simplifient les calculs, facilitent la résolution des équations, et sont cruciales dans le développement de nombreux théorèmes.
1. Simplification des expressions algébriques
Les identités remarquables permettent de transformer des expressions complexes en formes plus simples. Par exemple, on peut utiliser ces identités pour développer une expression impliquant une somme ou une différence au carré.
2. Résolution des équations quadratiques
Les identités remarquables sont utiles pour factoriser les équations quadratiques, facilitant ainsi leur résolution. Par exemple, elles permettent de transformer une équation quadratique en un produit de binômes plus simple à résoudre.
3. Calcul de la différence de carrés
La différence de carrés est une application courante des identités remarquables. Elle permet de simplifier des expressions impliquant la soustraction de deux carrés.
III. Extension des Identités Remarquables
Au-delà des identités de base, il existe des extensions et des variantes qui peuvent être appliquées à des expressions plus complexes. Ces extensions permettent de travailler avec des expressions impliquant plus de termes ou des puissances supérieures.
1. Le cube d’une somme
Cette extension traite du cube d’une somme et permet de développer une expression où deux termes sont additionnés puis mis au cube.
2. Le cube d’une différence
Cette extension concerne le cube d’une différence et est utile pour développer une expression où deux termes sont soustraits puis mis au cube.
3. Le produit de deux binômes quelconques
Cette extension permet de développer une expression où deux binômes, c’est-à-dire des expressions à deux termes, sont multipliés entre eux.
IV. Exemples Pratiques et Problèmes Résolus
Pour illustrer l’utilisation des identités remarquables, examinons quelques exemples pratiques et résolvons quelques problèmes algébriques.
1. Exemple de simplification
Prenons une expression où une différence est mise au carré. En utilisant l’identité appropriée, on peut transformer cette expression en une somme de termes plus simples.
2. Exemple de résolution d’équation
Considérons une équation quadratique qui peut être factorisée en un produit de binômes. Utiliser l’identité remarquable correspondante permet de résoudre cette équation plus facilement.
3. Exemple de calcul de la différence de cubes
Pour calculer la différence entre deux cubes, on peut appliquer l’identité remarquable appropriée pour simplifier cette expression en une forme plus gérable.
4. Exemple de développement de binômes
Développons une expression où deux binômes sont multipliés. En utilisant l’identité correspondante, on peut exprimer cette multiplication sous forme de somme de termes plus simples.
Conclusion
Les identités remarquables sont des outils puissants en algèbre, facilitant la simplification, le développement et la factorisation des expressions algébriques. Leur maîtrise est essentielle pour les étudiants et les professionnels des mathématiques, car elles sont omniprésentes dans divers problèmes mathématiques. En comprenant et en appliquant ces identités, on peut aborder les équations et les expressions algébriques avec confiance et précision.
- Remarques
- https://www.lycee3vallees.fr/identite-remarquable-comprendre-appliquer-et-explorer/#:~:text=L%E2%80%99identit%C3%A9%20remarquable%20est%20un%20concept%20fondamental%20en%20math%C3%A9matiques%2C,crucial%20dans%20la%20r%C3%A9solution%20de%20divers%20probl%C3%A8mes%20math%C3%A9matiques.
https://www.methodemaths.fr/identites_remarquables/
1. Cours
| 
14 min. | découverteLa séance commence par l'annonce du titre de la séquence:
Les identités remarquables:
L'enseignant (e) note le titre au tableau, les élèves font de même sur leur cahier de leçon.
Vient ensuite la distribution du polycopié à coller, toujours sur le cahier de leçon.
Les identités remarquables sont au nombre de 3
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + B²
(a+b) (a-b) = a² - b²
On peut inverser (a + b) et (a – b) dans la troisième formule, cela n’a aucune importance.
La dernière formule peut donc également s’écrire (a – b)(a + b) = a2 – b2
(a + b)2 = (a
+b)*(a+b)
(a + b)2 = a*a + a*b + b*a + b*b
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (car ba = ab)
(a – b)2 = (a-b)*(a-b)
(a – b)2 = a*a – a*b – b*a + b*b
(a – b)2 = a2 – ab – ba + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)(a – b) = a*a – a*b + b*a – b*b
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2 (car ba = ab)
Dans ces formules, a et b peuvent être des nombres ou des lettres.
Exemples :
(x + 2)2 : x correspond au a et 2 correspond au b
(2x – 7)2 : 2x correspond au a et 7 correspond au b
(x + 5)(x – 5) : x correspond au a et 5 correspond au b
(√6 + 9)2 : √6 correspond au a et 9 correspond au b
x2 – 92 : x correspond au a et 9 correspond au b
Evidemment on peut utiliser ces formules dans les 2 sens, c’est-à-dire que si l’on a (x + 2)2, on va développer en appliquant la première formule, si l’on a (x + 5)(x – 5) on va développer en utilisant la troisième formule.
on peut inverser (a + b) et (a – b) dans la troisième formule, cela n’a aucune importance.
La dernière formule peut donc également s’écrire (a – b)(a + b) = a2 – b2
Lecture de la leçon par l'enseignant avant de passer à la compréhension du contenu avec les élèves.
2. Exercices d'application commenté.
| 14 min. | recherchePasser de la représentation algébrique à la représentation chiffrée.
Si je sais que (a+b)²= a² + 2ab + b²
alors (3+14)²= combien
Laisser les élèves réfléchir (phase orale), puis corriger la question en interrogeant un élève.
Le faire passer au tableau et noter son raisonnement au fur et à mesure.
Réponse:
(3 + 14)² = 3² + 2 * 3*14 + 14²
(3 + 14)² = 9 + 84 + 196
(3+ 14)² = 289
3. Exercices d'application individuel.
| 20 min. | rechercheCommencer par la première des identités remarquables:
(a + b)²= a² + 2ab + b²
Consigne: A partir du modèle vous devrez appliquer la formule sur les expressions suivantes.
(86 + 95)²=
(17 + 90) ²=
(34 + 75)²=
Passage de l'enseignant dans les rangs au fur et à mesure de l'avancée de l'exercice.
4. Correction
| 20 min. | mise en commun / institutionnalisation1)
(86 + 95) ² = 86² + 2 * 86*95 + 95²
(86 + 95) ² = 7396 + 2 * 8170 + 9025
(86 + 95) ² = 7396 + 16340 + 9025
( 86 + 95) ² = 32761
2)
(17 + 90) ²= 17² + 2(17 * 90) + 90²
(17 + 90) ² = 289 + 2(1530) + 8100
(17 + 90) ² = 289 + 3060 + 8100
(17 + 90 ) ² = 11449
3)
(34+75) ² = 34² + 2(34*75) + 75²
(34 + 75)² = 1156 + 2( 2550) + (5625)
(34 + 75)² = 1156 + 5100 + 5625
(34 + 75)² = 11881
Après la correction : question orale de rapidité, classer ces résultats par ordre décroissant. Interroger un élève.
Fin de la première séance.