La proportionnalité

Discipline
Nombres et calculs
Niveaux
CM1, CM2.
Auteur
D. GIANORA
Objectif
- Reconnaître et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée : propriétés de linéarité (additive et multiplicative), passage à l’unité, coefficient de proportionnalité.
Relation avec les programmes

Cycle 3 - Programme 2020

  • Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité dans chacun des trois domaines « nombres et calculs », « grandeurs et mesures » et « espace et géométrie ».
  • Mobiliser pour les traiter des formes de raisonnement spécifiques et des procédures adaptées, comme les propriétés de linéarité (additive et multiplicative).
  • Mobiliser pour les traiter des formes de raisonnement spécifiques et des procédures adaptées : les propriétés de linéarité (additive et multiplicative), le passage à l'unité, le coefficient de proportionnalité.
Dates
Créée le 14 janvier 2021
Modifiée le 16 janvier 2021
Statistiques
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12 coups de coeur
Licence
CC-BY-NC-SALicence Creative Commons : Paternité - Pas d'utilisation commerciale - Partage des conditions initiales à l'identique ?.

Séquence d'introduction de la proportionnalité en résolution de problème.

Déroulement des séances

1

Découverte

Dernière mise à jour le 16 janvier 2021
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
- découvrir une situation de proportionnalité
- utiliser le passage à l'unité pour la résoudre
Durée
36 minutes (3 phases)
Matériel
Énoncé : photo 1

1. Introduction

collectif | 10 min. | découverte

"Aujourd'hui nous allons résoudre un problème à partir d'une photo. Ce problème n'appartient à aucune des familles de problème que nous avons travaillées jusqu'à maintenant. C'est une nouvelle famille que je vais vous faire découvrir."

Distribuer la photo des deux boîtes de pastilles pour le lave-vaisselle.

"Aujourd'hui je vais vous demander d'aller jusqu'au bout du problème : écrire le calcul de mathématiques et raconter la réponse. Je vous donne une grande feuille pour écrire ce que vous voulez présenter à la classe à la fin de votre travail." (donner des feutres pour l'écriture soit suffisamment grosse pour le tableau)

Les élèves doivent :

- décrire l'image : raconter sans les nombres.

- formuler la question ( "Combien va coûter la boîte de 80 pastilles de lavage?")

(raconter l'énoncer et la question sans les nombres permet de se projeter dans le raisonnement et la modélisation, sans que les élèves soient tentés de chercher un calcul avant tout...)

Si les élèves ne parviennent pas à formuler la question, l'enseignant peut la fournir. Cela ne constitue pas un objectif de la séance.

2. Recherche et modélisation

binômes | 20 min. | recherche

Les élèves cherchent d'abord de manière individuelle, comment résoudre le problème.

Puis, ils sont regroupés en binômes.

La feuille de réponse du groupe est donnée au bout de 10min de recherche.

Un enseignant est en soutien pour les élèves en difficulté. 

Différents niveaux de différenciation : rappeler l'énoncé, rappeler la question, écrire l'énoncé de manière textuelle sur une ardoise, écrire à la question de manière textuelle sur une ardoise, fournir un tableau de proportionnalité avec le passage à l'unité.

Pour les élèves les plus avancés, prévoir des exercices d'application directe avec des nombres simples.

3. Mise en commun

collectif | 6 min. | mise en commun / institutionnalisation

Les élèves présentent leurs résultats et leur démarche. Si les démarches sont très variées ou comportent beaucoup d'erreurs,  il est préférable de différer cette partie de la séance.

Faire émerger : la récurrence de la proportionnalité, le passage à l'unité, l'utilisation d'un tableau pour organiser ses calculs, le coefficient de proportionnalité ou tout autre méthode (addition itérative, multiplication simple...).

Ne pas impose le tableau et le coefficient de propostionnalité.

 

"La famille de problème que vous venez de découvrir, s' appelle: les problèmes de proportionnalité."

L'enseignant complète l'affichage de référence qui reprend l'utilisation d'un tableau avec le passage à l'unité (et éventuellement d'autres méthodes largement utilisées).

Visionner les vidéos des fondamentaux et lire la leçon.

https://lesfondamentaux.reseau-canope.fr/discipline/mathematiques/organisation-et-gestion-des-donnees.html

2

Entraînement

Dernière mise à jour le 16 janvier 2021
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
- Rencontrer plusieurs situations de proportionnalités
- Utiliser les tableaux de proportionnalités avec un passage par l'unité
Durée
35 minutes (5 phases)
Matériel
Feuilles d'exercice "Entraînement"
Jeu de carte

1. Rappel

collectif | 5 min. | découverte

Rappel de la séance précédente en prenant appui sur l'affichage de référence de la classe.

"Aujourd'hui, vous allez vous entraîner à résoudre les problèmes de proportionnalité en utilisant le tableau de proportionnalité, comme la dernière fois."

2. Entraînement 1

individuel | 15 min. | entraînement

Les élèves réalisent les exercices, individuellement.

L'enseignant passe dans les rangs et vient en soutien des élèves en difficulté.

3. Mise en commun

collectif | 5 min. | mise en commun / institutionnalisation

Mes élèves font un retour rapide sur leur travail. Il sera intéressant de repréciser que les critères d'une situation de proportionnalité :

- possibilité de connaître la valeur pour une unité

- pour connaître les autres valeurs il suffit d'utiliser le coefficient de proportionnalité

- on utilise la multiplication et la division

4. Entraînement 2

binômes | 5 min. | réinvestissement

"voici un tableau de proportionnalité, je vais le compléter avec des informations. À vous de me dire sic'est une situation de proportionnalité."

L'enseignant trace un tableau de proportionnalité et présente différents situations. Il est important de noter en tête de colonne le nom des objets manipulés et pas seulement des nombres.

Prévoir au moins une situation qui n'est pas une situation de proportionnalité. Les élèves devront argumenter et mettre en évidence les critères de proportionnalité que l'on ne retrouve pas dans cette situation.

Exemple : Aujourd’hui, Paul a 10 ans et son frère René a 14 ans.
Quand Paul aura 20 ans, quel sera l'âge de René ?
Quand Paul aura 30 ans, quel sera l'âge de René ?

 

Prévoir également une situation non chiffrée qui ne peut pas être une situation de proportionnalité.

Exemple : des livres/la météo, des cartes de jeu/l'âge des maîtresses...

5. Mise en commun

collectif | 5 min. | mise en commun / institutionnalisation

Trace écrite qui vient compléter la précédent : "Tous les problèmes en tableau ne sont pas des situations de proportionnalité : il n'y a pas de coefficient de proportionnalité (exemple des âges), il n'y a aucun lien entre les deux objets que l'on compte (exemple : livre/météo)."

3

Approfondissement

Dernière mise à jour le 16 janvier 2021
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
- Utiliser le produit en croix pour résoudre une situation de proportionnalité
Durée
25 minutes (3 phases)

1. Rappel

collectif | 5 min. | découverte

Les élèves rappellent les informations importantes des séances précédentes.

"Aujourd'hui nous allons résoudre un problème de proportionnalité sans utiliser le tableau de proportionnalité. Nous allons utiliser un outil plus expert : le produit en croix."

L'enseignant présente le produit en croix à partir d'une situation de proportionnalité sans que les élèves ont déjà rencontrée.

Exemple : Dans ma recette de gâteau, pour quatre personnes, j'ai besoin de trois oeufs. Combien d'oeufs sont nécessaires pour préparer l'heure pour 8 personnes ?

2. Recherche

individuel | 15 min. | recherche

Les élèves reprennent les situations de proportionnalité vues précédemment (S2) et cherche à les résoudre en utilisant le produit en croix.

Ce travail est auto-correctif puisque les réponses ont déjà été trouvées précédemment. L'élève peut donc directement vérifier s'il utilise correctement le produit en croix.

3. Mise en commun

collectif | 5 min. | mise en commun / institutionnalisation

Lors de la mise en commun, la rapidité d'utilisation du produit en croix doit émergée (ainsi que le gain de place). L'enseignant précisera que l'utilisation du tableau de proportionnalité est un outil qui reste très utile).

4

Évaluation

Dernière mise à jour le 16 janvier 2021
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
- reconnaître une situation de proportionnalité
- utiliser le tableau de proportionnalité avec le passage à l'unité et le coefficient de proportionnalité
- utiliser le produit en croix
Durée
20 minutes (1 phase)
Matériel
- feuille d'évaluation :
https://mamaitressedecm1.fr/wp-content/uploads/2013/03/proportionnaliteCM2EN.pdf

https://monecole.fr/evaluation-mathematiques-cm1-et-cm2

1. Évaluation

individuel | 20 min. | évaluation

Les élèves réalisent la feuille d'évaluation de manière individuelle.

L'enseignant peut intervenir en soutien pour la bonne compréhension des énoncés.

5

Prolongement

Dernière mise à jour le 16 janvier 2021
Discipline / domaine
Nombres et calculs
Objectif
- résoudre une situation problème de la vie courante
- distinguer les situations proportionnelles et non proportionnelles
Durée
20 minutes (3 phases)
Matériel
Énoncé photo 2

1. Rappel

collectif | 5 min. | découverte

Les élèves rappellent les invariants de la situation de proportionnalité.

2. Prolongement

binômes | 10 min. | recherche

Voici la photo que nous avions utilisée au départ de notre travail sur la proportionnalité.

Vous pouvez maintenant voir le prix de chaque paquet de pastilles de lavage.

"Quel est le paquet le plus intéressant à acheter ?"

Les élèves recherchent individuellement pendant 10 min puis se regroupe en binômes.

L'enseignant passe dans les rangs en soutien pour les élèves en difficulté.

"Pour ce paquet quel est le prix d'une pastille de lavage ? Et pour ce paquet, quel est le prix pour une pastille de lavage ? Est-ce que c'est le même prix ? Qu'est-ce que tu en déduis ?"

3. Phase 3

collectif | 5 min. | mise en commun / institutionnalisation

Faire émerger : "Les situations de la vie quotidienne ne sont pas toutes proportionnelles. C'est bien de pouvoir vérifier par soi-même et de faire des choix."